LCspace - 卫星学习笔记

坐标系

$O_EX_IY_IZ_I$

$O_E$ $O_EX_I$ 轴指向J2000.0平春分点，

$O_EZ_I$ $O_EY_I$ $O_EZ_I$ $O_EX_I$ 轴构成右手坐标系。

$O_EX_{I-MOD}Y_{I-MOD}Z_{I-MOD}$

$O_E$ $O_EX_{I-MOD}$ $O_EZ_{I-MOD}$ $O_EY_{I-MOD}$ $O_EX_{I-MOD}$ $O_EZ_{I-MOD}$ 轴构成右手坐标系。

$O_EX_{I-TOD}Y_{I-TOD}Z_{I-TOD}$

$O_E$ $O_EX_{I-TOD}$ $O_EZ_{I-TOD}$ $O_EY_{I-TOD}$ $O_EX_{I-TOD}$ $O_EZ_{I-TOD}$ 轴构成右手坐标系。

$OX_oY_oZ_o$

$S_{O_o}$ $OZ_o$ $OY_o$ $OX_o$ $OY_o$ $OZ_o$ 轴构成右手坐标系。

$OX_bY_bZ_b$

$Sb_o$ $O$ $OX_b$ $OY_b$ $OZ_b$ 轴一般沿航天器3个相互正交的惯量主轴方向，构成右手坐标系。

$o'_0x'y'z'$

$SL‘$ $o'_0$ $o'_0x'$ $A_0$ $A_0$ $o'_0y'$ $B_0$ $o'_0z'$ 轴按右手法则确定。

$O_Ex_Wy_Wz_W$

$O_Ez_W$ $O_Ex_W$ $O_Ey_W$ $O_Ez_W$ $O_Ex_W$ 轴构成一个右手坐标系。

坐标系间的转换关系

$O_EX_IY_IZ_I$ $OX_oY_oZ_o$

$O_EX_IY_IZ_I$ $\Omega$ $i$ $u$ 表示，则

\left[\begin{matrix}x_o^0\\y_o^0\\z_o^0\\\end{matrix}\right]=C_{oI}\left[\begin{matrix}X_I^0\\Y_I^0\\Z_I^0\\\end{matrix}\right]

式中

C_{oI}=\left[\begin{matrix}-\sin u\cos\Omega-\cos u\cos i\sin\Omega&-\sin u\sin\Omega+\cos u\cos i\cos\Omega&\cos u\sin i\\-\sin i\sin\Omega&\sin i\cos\Omega&-\cos i\\-\cos u\cos\Omega+\sin u\cos i\sin\Omega&-\cos u\sin\Omega-\sin u\cos i\cos\Omega&-\sin u\sin i\\\end{matrix}\right]

$OX_bY_bZ_b$ $OX_oY_oZ_o$

$Sb$ $So$ $C_{bo}$ 称为姿态矩阵。

\left[\begin{matrix}x_b^0\\y_b^0\\z_b^0\\\end{matrix}\right]=C_{bo}\left[\begin{matrix}x_o^0\\y_o^0\\z_o^0\\\end{matrix}\right]

$OX_b$ $\phi$ $OY_b$ $\theta$ $OZ_b$ $\psi$ 。采用欧拉角描述姿态时，姿态矩阵与3个欧拉角的转动次序有关。若考虑z-x-y转序，则姿态矩阵

C_{bo}=\left[\begin{matrix}\cos\theta\cos\psi-\sin\theta\sin\phi\sin\psi&\cos\theta\sin\psi+\sin\theta\sin\phi\cos\psi&-\sin\theta\cos\phi\\-\cos\phi\sin\psi&\cos\phi\cos\psi&\sin\phi\\\sin\theta\cos\psi+\cos\theta\sin\phi\sin\psi&\sin\theta\sin\psi-\cos\theta\sin\phi\cos\psi&\cos\theta\cos\phi\\\end{matrix}\right]

在小角度情况下，姿态矩阵可近似为

C_{bo}=\left[\begin{matrix}1&\psi&-\theta\\-\psi&1&\phi\\\theta&-\phi&1\\\end{matrix}\right]

显然它与转序无关。

在大角度姿态运动情况下，在解算用欧拉角描述的运动学方程式会出现奇点。在这种情况下应采用四元数来表示。用四元数表示的姿态矩阵是

C_{bo}=\left[\begin{matrix}q_0^2+q_1^2-q_2^2-q_3^2&2(q_1q_2+q_0q_3)&2(q_1q_3-q_0q_2)\\2(q_1q_2-q_0q_3)&q_0^2-q_1^2+q_2^2-q_3^2&2(q_2q_3+q_0q_1)\\2(q_1q_3+q_0q_2)&2(q_2q_3-q_0q_1)&q_0^2-q_1^2-q_2^2+q_3^2\\\end{matrix}\right]

$q=q_0+q_1i+q_2j+q_3k$ $q_0^2+q_1^2+q_2^2+q_3^2=1$ 。

$O_EX_IY_IZ_I$ $O_EX_{I-MOD}Y_{I-MOD}Z_{I-MOD}$

\left[\begin{matrix}X_{I-MOD}^0\\Y_{I-MOD}^0\\Z_{I-MOD}^0\\\end{matrix}\right]=C_{PR}\left[\begin{matrix}X_I^0\\Y_I^0\\Z_I^0\\\end{matrix}\right]

$C_{PR}$ 为岁差矩阵，由3个旋转矩阵构成，即

C_{PR}=R_x(-z_A)R_y(\theta_A)R_z(-\zeta_A)

$z_A$ $\theta_A$ $\zeta_A$ 为赤道岁差角。由下式计算：

\begin{cases}\zeta_A=2306''.2181T+0''.30188T^2+0''.017998T^3\\z_A=2306''.2181T+1''.09468T^2+0''.018203T^3\\\theta_A=2004''.3109T-0''.42665T^2-0''.041833T^3\end{cases}

$T$ $J2000.0$ $t$ 时刻的儒略世纪数。

$O_EX_{I-MOD}Y_{I-MOD}Z_{I-MOD}$ $O_EX_{I-TOD}Y_{I-TOD}Z_{I-TOD}$

\left[\begin{matrix}X_{I-TOD}^0\\Y_{I-TOD}^0\\Z_{I-TOD}^0\\\end{matrix}\right]=C_{NR}\left[\begin{matrix}X_{I-MOD}^0\\Y_{I-MOD}^0\\Z_{I-MOD}^0\\\end{matrix}\right]

$C_{NR}$ 为章动矩阵，由3个旋转矩阵构成，即

C_{NR}=R_x[-(\bar{\varepsilon}+\Delta\varepsilon)]R_z(-\Delta\psi)R_x(\bar{\varepsilon})

$\bar{\varepsilon}$ $\Delta\psi$ $\Delta\varepsilon$ $IAU1980$ $\bar{\varepsilon}$ 计算公式为

\bar{\varepsilon}=23^\circ26'21''.448-46''.8150T-0''.00059T^2

$O_Ex_Wy_Wz_W$ $O_EX_{I-TOD}Y_{I-TOD}Z_{I-TOD}$

$\theta_0$ $t_0$ $t$ 时刻

\left[\begin{matrix}x_w^0\\y_w^0\\z_w^0\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\cos[\theta_0+\omega_e(t-t_0)]&\sin[\theta_0+\omega_e(t-t_0)]&0\\-\sin[\theta_0+\omega_e(t-t_0)]&\cos[\theta_0+\omega_e(t-t_0)]&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}X_{I-TOD}^0\\Y_{I-TOD}^0\\Z_{I-TOD}^0\\\end{matrix}\right]

$\omega_e$ 为地球自转角速度。

二体问题

1.二体运动方程

\ddot{\mathbf{r}}+\frac{\mu}{r^3}\mathbf{r}=0

$\mu=GM$ $\mu$ 的值不同。

中心引力体	引力参数
地球	$3.986005\times10^5km/s$
月球	$4.902794\times10^3km/s$
太阳	$1.327124\times10^{11}km/s$
水星	$2.203208\times10^4km/s$
金星	$3.248586\times10^3km/s$
火星	$4.282832\times10^4km/s$
土星	$1.267128\times10^8km/s$
木星	$3.794063\times10^7km/s$
天王星	$5.794549\times10^6km/s$
海王星	$6.836534\times10^6km/s$

2.二体轨道运动常数

$\mathbf{E}$ $\mathbf{E}$ 的表达式为

\mathbf{E}=\frac{v^2}{2}+(-\frac{\mu}{r})

$c=0$ ，就相当于以无穷远处作为零势能点，那么航天器的势能将始终是负的。

$\mathbf{r}\times\mathbf{v}$ $\mathbf{h}$ $\mathbf{h}$ $\mathbf{h}$ 的表达式为

\mathbf{h}=\mathbf{r}\times\mathbf{v}

3.二体轨道几何性质

除了抛物线之外，所有的圆锥曲线均有偏心率

e=\frac{c}{a}

p=a(1-e)

轨道长轴的两个端点称为拱点，离主焦点近的称为近拱点，离主焦点远的称为远拱点。

r_p=\frac{p}{1+e}=a(1-e)

r_a=\frac{p}{1-e}=a(1+e)

航天器轨道特性

1.轨道参数间的转换关系

$(a,e,i,\Omega,\omega,M)$ $(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}})$ $e,M$ $E$ $\sin E$ $\cos E$ ，一般采用迭代法或牛顿法进行求解

E-e\sin E=M

$(\mathbf{P},\mathbf{Q})$

\mathbf{P}=\begin{pmatrix}\cos\Omega\cos\omega-\sin\Omega\sin\omega\cos i\\\sin\Omega\cos\omega+\cos\Omega\sin\omega\cos i\\\sin\omega\sin i\end{pmatrix}

\mathbf{Q}=\begin{pmatrix}-\cos\Omega\sin\omega-\sin\Omega\cos\omega\cos i\\-\sin\Omega\sin\omega+\cos\Omega\cos\omega\cos i\\\cos\omega\sin i\end{pmatrix}

$\mathbf{Q}=\mathbf{P}(\omega\rightarrow\omega+90^\circ)$ $\mathbf{Q}$ $\mathbf{P}$ $\mathbf{P}$ $\omega$ $\omega+90^\circ$ $(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}})$ ：

\mathbf{r}=\mathbf{r}(\sigma)=a(\cos E-e)\mathbf{P}+a(\sqrt{1-e^2}\sin E)\mathbf{Q}

\mathbf{\dot{r}}=\mathbf{\dot{r}}(\sigma)=\frac{\sqrt{\mu a}}{r}[(-\sin E)\mathbf{P}+(\sqrt{1-e^2}\cos E)\mathbf{Q}]

轨道摄动源

1.地球非球形引力摄动

$J_2$ $J_2$ 项的摄动影响，则

\Delta V_2=-\frac{J_2}{2r^3}(3\sin^2\phi-1)

$J_2=1.08263\times10^{-3}$ 。

2.地球大气阻力摄动

大气阻力是由于地球大气产生的对航天器运动的摄动力，阻力的大小与大气密度、航天器形状和运行速度等因素有关。根据空气动力学，阻力可由下式确定：

F_a=-C_DS\frac{\rho v^2}{2}

$S$ $\rho$ $v$ $C_D$ $C_D=2.0\sim2.5$ ；负号表示阻力与航天器运动的方向相反。

3.日月引力摄动

当航天器的轨迹与地心不一致时，太阳、月球对航天器和地球产生的单位质量引力不同，两者的引力差会导致轨道摄动。太阳和月球对地球附近航天器产生的摄动力为

\delta\mathbf{\ddot{r}}=\mu_s(\frac{\mathbf{r}_s-\mathbf{r}}{|\mathbf{r}_s-\mathbf{r}|^2}-\frac{\mathbf{r}_s}{r_s^2})+\mu_m(\frac{\mathbf{r}_m-\mathbf{r}}{|\mathbf{r}_m-\mathbf{r}|^2}-\frac{\mathbf{r}_m}{r_m^2})

$\mathbf{r}$ $\mathbf{r}_s$ $\mathbf{r}_m$ $\mu_s$ $\mu_m$ $\mathbf{r}_{1s}=\mathbf{r}_s-\mathbf{r}$ $\mathbf{r}_{1m}=\mathbf{r}_m-\mathbf{r}$ 。

4.太阳光压摄动

太阳光照在物体上，会对物体产生压力，物体所受的压力与到太阳的距离平方成反比，在地球附近垂直太阳光线的单位面积所受到的太阳光压为

k=4.56\times01^{-6}(1+\gamma)N/m^2

$\gamma$ 为物体表面的发射系数，全吸收时为0，全发射时为1。

太阳光压引起的摄动加速度为

\delta\mathbf{\ddot{r}}=\frac{kA}{m}\mathbf{S}

$A$ $m$ $\mathbf{S}$ 为太阳光线方向矢量。

姿态描述

1.方向余弦矩阵

$\mathbf{x}_b^0$ $\mathbf{y}_b^0$ $\mathbf{z}_b^0$ $\mathbf{x}_r^0$ $\mathbf{y}_r^0$ $\mathbf{z}_r^0$ 为参考坐标系的单位坐标向量，其关系为

\left[\begin{matrix}x_b^0\\y_b^0\\z_b^0\\\end{matrix}\right]=C_{br}\left[\begin{matrix}x_r^0\\y_r^0\\z_r^0\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{21}&C_{22}&C_{23}\\C_{31}&C_{32}&C_{33}\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_r^0\\y_r^0\\z_r^0\\\end{matrix}\right]

$C_{br}$ $C_{ij}(i,j=1,2,3)$ 为两坐标系单位向量间的点积（即方向余弦）。

2.欧拉角

$x_b$ $\phi$ $y_b$ $\theta$ $z_b$ $\psi$ ，由此可得基元旋转矩阵为

C_x(\phi)=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&\cos\phi&\sin\phi\\0&-\sin\phi&\cos\phi\end{matrix}\right]

C_y(\theta)=\left[\begin{matrix}\cos\theta&0&-\sin\theta\\0&1&0\\\sin\theta&0&\cos\theta\end{matrix}\right]

C_z(\psi)=\left[\begin{matrix}\cos\psi&\sin\psi&0\\-\sin\psi&\cos\psi&0\\0&0&1\end{matrix}\right]

$x_b$ $y_b$ $z_b$ $C_1(\phi)$ $\C_2(\theta)$ $C_3(\psi)$ 。

$\cos\phi$ $\cos\theta$ $\cos\psi$ $c_\phi$ $c_\theta$ $c_\psi$ $\sin\phi$ $\sin\theta$ $\sin\psi$ $s_\phi$ $s_\theta$ $s_\psi$ ，则第一类欧拉转序的6种不同形式的方向余弦阵为

C_{123}=C_3(\psi)C_2(\theta)C_1(\phi)=\left[\begin{matrix}c_\psi c_\theta&c_\psi s_\theta s_\phi+s_\psi c_\phi&-c_\psi s_\theta c_\phi+s_\psi s_\phi\\-s_\psi c_\theta&-s_\psi s_\theta s_\phi+c_\psi c_\phi&s_\psi s_\theta c_\phi+c_\psi s_\phi\\s_\theta&-c_\theta s_\phi&c_\theta c_\phi\end{matrix}\right]

C_{132}=C_2(\theta)C_3(\psi)C_1(\phi)=\left[\begin{matrix}c_\theta c_\psi&c_\theta s_\psi c_\phi+s_\theta s_\phi&c_\theta s_\psi s_\phi-s_\theta c_\phi\\-s_\psi&c_\psi c_\phi&c_\psi s_\phi\\s_\theta c_\psi&s_\theta s_\psi c_\phi-c_\theta s_\phi&s_\theta s_\psi s_\phi+c_\theta c_\phi\end{matrix}\right]

C_{231}=C_1(\phi)C_3(\psi)C_2(\theta)=\left[\begin{matrix}c_\psi c_\theta&s_\psi&-c_\psi s_\theta\\-c_\phi s_\psi c_\theta+s_\phi c_\theta&c_\phi c_\psi&c_\phi s_\psi s_\theta+s_\phi c_\theta\\s_\phi s_\psi c_\theta+c_\phi s_\theta&-s_\phi c_\psi&-s_\phi s_\psi s_\theta+c_\phi c_\theta\end{matrix}\right]

C_{213}=C_3(\psi)C_1(\phi)C_2(\theta)=\left[\begin{matrix}s_\psi s_\phi s_\theta+c_\psi c_\theta&s_\psi c_\phi&-c_\psi s_\theta+s_\psi s_\phi c_\theta\\-s_\psi c_\theta+c_\psi s_\phi s_\theta&c_\psi c_\phi&s_\psi s_\theta+c_\psi s_\phi c_\theta\\c_\phi s_\theta&-s_\phi&c_\phi c_\theta\end{matrix}\right]

C_{312}=C_2(\theta)C_1(\phi)C_3(\psi)=\left[\begin{matrix}c_\theta c_\psi-s_\theta s_\phi s_\psi&c_\theta s_\psi+s_\theta s_\phi c_\psi&-s_\theta c_\phi\\-c_\phi s_\psi&c_\phi c_\psi&s_\phi\\s_\theta c_\psi+c_\theta s_\phi s_\psi&s_\theta s_\psi-c_\theta s_\phi c_\psi&c _\theta c_\phi\end{matrix}\right]

C_{321}=C_1(\phi)C_2(\theta)C_3(\psi)=\left[\begin{matrix}c_\theta c_\psi&c_\theta s_\psi&-s_\theta\\-c_\phi s_\psi+s_\phi s_\theta c_\psi&c_\phi c_\psi+s_\phi s_\theta s_\psi&s_\phi c_\theta\\s_\phi s_\psi+c_\phi s_\theta c_\psi&-s_\phi c_\psi+c_\phi s_\theta s_\psi&c_\phi c_\theta\end{matrix}\right]

$\theta_1$ $\theta_2$ $\theta_3$ $\cos\theta_i$ $\sin\theta_i$ $(i=1,2,3)$ $c_i$ $s_i$ ，则其6种不同欧拉转序对应的方向余弦阵分别为

C_{121}=C_1(\theta_3)C_2(\theta_2)C_1(\theta_1)=\left[\begin{matrix}c_2&s_2s_1&-s_2c_1\\s_3s_2&c_3c_1-s_3c_2s_1&c_3s_1+s_3c_2c_1\\c_3s_2&-s_3c_1-c_3c_2s_1&-s_3s_1+c_3c_2c_1\end{matrix}\right]

C_{131}=C_1(\theta_3)C_3(\theta_2)C_1(\theta_1)=\left[\begin{matrix}c_2&s_2s_1&s_2s_1\\-c_3s_2&c_3c_2c_1-s_3s_1&c_3c_2s_1+s_3c_1\\s_3s_2&-s_3c_2c_1-c_3s_1&-s_3c_2s_1+c_3c_1\end{matrix}\right]

C_{212}=C_2(\theta_3)C_1(\theta_2)C_2(\theta_1)=\left[\begin{matrix}c_3c_1-s_3c_2s_1&s_3s_2&-c_3s_1-s_3c_2c_1\\s_2s_1&c_2&s_2c_1\\s_3c_1+c_3c_2s_1&-c_3s_2&-s_3s_1+c_3c_2c_1\end{matrix}\right]

C_{232}=C_2(\theta_3)C_3(\theta_2)C_2(\theta_1)=\left[\begin{matrix}c_3c_2c_1-s_3s_1&c_3s_2&-c_3c_2s_1-s_3c_1\\-s_2c_1&c_2&s_2s_1\\s_3c_2c_1+c_3s_1&s_3s_2&-s_3c_2s_1+c_3c_1\end{matrix}\right]

C_{313}=C_3(\theta_3)C_1(\theta_2)C_3(\theta_1)=\left[\begin{matrix}c_3c_1-s_3c_2s_1&c_3s_1+s_3c_2c_1&s_3s_2\\-s_3c_1-c_3c_2s_1&-s_3s_1+c_3c_2c_1&c_3s_2\\s_2s_1&-s_2c_1&c_2\end{matrix}\right]

C_{323}=C_3(\theta_3)C_2(\theta_2)C_3(\theta_1)=\left[\begin{matrix}c_3c_2c_1-s_3s_1&c_3c_2s_1+s_3c_1&-c_3s_2\\-s_3c_2c_1-c_3s_1&-s_3c_2s_1+c_3c_1&s_3s_2\\s_2c_1&-s_2s_1&c_2\end{matrix}\right]

3.欧拉轴/角参数式

$\mathbf{e}$ $e_x$ $e_y$ $e_z$ $\Phi$ $\mathbf{e}$ $\mathbf{e}$ $\Phi$ $e_x^2+e_y^2+e_z^2=1$ ，该姿态描述有3个参数为独立的。

欧拉轴/角参数式描述姿态所对应姿态方向余弦阵为

C_{br}=\left[\begin{matrix}c_\Phi+e_x^2(1-c_\Phi)&e_xe_y(1-c_\Phi)+e_zs_\Phi&e_xe_z(1-c_\Phi)+e_ys_\Phi\\e_xe_y(1-c_\Phi)-e_xs_\Phi&c_\Phi+e_y^2(1-c_\Phi)&e_ye_z(1-c_\Phi)+e_xs_\Phi\\e_xe_z(1-c_\Phi)+e_ys_\Phi&e_ye_z(1-c_\Phi)+e_xs_\Phi&c_\Phi+e_z^2(1-c_\Phi)\end{matrix}\right]

$c_\Phi$ $s_\Phi$ $\cos\Phi$ $\sin\Phi$ $e^\times$ $e$ 的斜对称矩阵：

e^\times=\left[\begin{matrix}0&-e_z&e_y\\e_z&0&-e_x\\-e_y&e_x&0\end{matrix}\right]

$C$ 时，对应的欧拉轴/角参数为

e=\frac{1}{2\sin\Phi}\left[\begin{matrix}C_{23}-C_{32}\\C_{31}-C_{13}\\C_{12}-C_{21}\end{matrix}\right]

\cos\Phi=\frac{1}{2}(trC-1)

$C_{ij}(i,j=1,2,3)$ $trC$ $C$ 的迹。

4.四元数

根据欧拉轴/角姿态描述，定义姿态四元数为

\mathbf{q}=\left[\begin{matrix}\mathbf{q}_v\\q_4\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}e_x\sin{\frac{\Phi}{2}}&e_y\sin{\frac{\Phi}{2}}&e_z\sin{\frac{\Phi}{2}}&\cos{\frac{\Phi}{2}}\end{matrix}\right]^T

$\mathbf{q}_v=\left[\begin{matrix}q_1&q_2&q_3\end{matrix}\right]^T$ $q_4$ 为标量。4个参数满足约束方程

q_1^2+q_2^2+q_3^2+q_4^2=1

$C$ $q$ 的关系为

C(q)=\left[\begin{matrix}q_4^2+q_1^2-q_2^2-q_3^2&2(q_1q_2+q_4q_3)&2(q_1q_3+q_4q_2)\\2(q_1q_2-q_4q_3)&q_4^2-q_1^2+q_2^2-q_3^2&2(q_2q_3+q_4q_1)\\2(q_1q_3+q_4q_2)&2(q_2q_3-q_4q_1)&q_4^2-q_1^2-q_2^2+q_3^2\end{matrix}\right]

四元数也常表示为如下形式：

\mathbf{q}=\left[\begin{matrix}q_0\\\mathbf{q}_v\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\cos{\frac{\Phi}{2}}&e_x\sin{\frac{\Phi}{2}}&e_y\sin{\frac{\Phi}{2}}&e_z\sin{\frac{\Phi}{2}}\end{matrix}\right]^T

$q_0$ 为四元数的标量。

从姿态角转到四元数（3-2-1）

\left[\begin{matrix}q_0\\q_1\\q_2\\q_3\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\cos(\frac{\phi}{2})\cos(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\psi}{2})+\sin(\frac{\phi}{2})\sin(\frac{\theta}{2})\sin(\frac{\psi}{2})\\\sin(\frac{\phi}{2})\cos(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\psi}{2})-\cos(\frac{\phi}{2})\sin(\frac{\theta}{2})\sin(\frac{\psi}{2})\\\cos(\frac{\phi}{2})\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\psi}{2})+\sin(\frac{\phi}{2})\cos(\frac{\theta}{2})\sin(\frac{\psi}{2})\\\cos(\frac{\phi}{2})\cos(\frac{\theta}{2})\sin(\frac{\psi}{2})-\sin(\frac{\phi}{2})\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\psi}{2})\end{matrix}\right]

从四元数到姿态角（3-2-1）

\phi=\arctan(\frac{C(2,3)}{C(3,3)})

\theta=-\arcsin(C(1,3))

\psi=\arctan{\frac{C(1,2)}{C(1,1)}}

姿态运动学

$C$ 的姿态描述，其姿态运动学方程为

\frac{dC}{dt}=-\omega^\times C

$\omega$ $\omega^\times$ $\omega$ 的斜对称阵。

对于欧拉角姿态描述，从欧拉角转动顺序可得其运动方程。不妨以1-2-3欧拉转序为例，有

\omega=C_3(\psi)\begin{pmatrix}\left[\begin{matrix}0\\0\\\dot{\psi}\end{matrix}\right]+C_2(\theta)\begin{pmatrix}\left[\begin{matrix}0\\\dot{\theta}\\0\end{matrix}\right]+C_1(\phi)\left[\begin{matrix}\dot{\phi}\\0\\0\end{matrix}\right]\end{pmatrix}\end{pmatrix}

上式可表示为如下简洁形式：

\omega=S\left[\begin{matrix}\dot{\phi}&\dot{\theta}&\dot{\psi}\end{matrix}\right]^T

式中

S=\left[\begin{matrix}\cos\psi\cos\theta&\sin\psi&0\\-\sin\psi\cos\theta&\cos\psi&0\\\sin\theta&0&1\end{matrix}\right]

同理，根据欧拉角时间导数可求得本体系角速度为

\left[\begin{matrix}\dot{\phi}&\dot{\theta}&\dot{\psi}\end{matrix}\right]^T=S^{-1}\omega

$S^{-1}$ $S$ 的逆，其具体表达式为

S^{-1}=\left[\begin{matrix}\cos\psi/\cos\theta&-\sin\psi/\cos\theta&0\\\sin\psi&\cos\psi&0\\-\cos\psi\tan\theta&\sin\psi\tan\theta&1\end{matrix}\right]

$S$ $S^{-1}$ 。

转序3-2-1

S=\left[\begin{matrix}1&0&-\sin\theta\\0&\cos\phi&\sin\phi\cos\theta\\0&-\sin\phi&\cos\phi\cos\theta\end{matrix}\right]

S^{-1}=\left[\begin{matrix}1&\sin\phi\tan\theta&\cos\phi\tan\theta\\0&\cos\phi&-\sin\phi\\0&\sin\phi/\cos\theta&\cos\phi/\cos\theta\end{matrix}\right]

转序3-1-2

S=\left[\begin{matrix}\cos\theta&0&-\cos\phi\sin\theta\\0&1&\sin\phi\\\sin\theta&0&\cos\phi\cos\theta\end{matrix}\right]

S^{-1}=\left[\begin{matrix}\cos\theta&0&\sin\theta\\\tan\phi\sin\theta&1&-\tan\phi\cos\theta\\-\sin\theta/\cos\phi&0&\cos\theta\cos\phi\end{matrix}\right]

转序2-1-3

S=\left[\begin{matrix}\cos\psi&\sin\psi\cos\phi&0\\-\sin\psi&\cos\psi\cos\phi&0\\0&\sin\theta&1\end{matrix}\right]

S^{-1}=\left[\begin{matrix}\cos\psi&-\sin\psi&0\\\sin\psi/\cos\phi&\cos\psi/\cos\phi&0\\\tan\phi\sin\psi&\tan\phi\cos\psi&1\end{matrix}\right]

转序1-3-2

S=\left[\begin{matrix}\cos\theta\cos\psi&0&-\sin\theta\\-\sin\psi&1&0\\-\sin\theta\cos\psi&0&\cos\theta\end{matrix}\right]

S^{-1}=\left[\begin{matrix}\cos\theta\sec\psi&0&\sin\theta\sec\psi\\\cos\theta\tan\psi&1&\sin\theta\tan\psi\\-\sin\theta&0&\cos\theta\end{matrix}\right]

转序2-3-1

S=\left[\begin{matrix}1&-\sin\psi&0\\0&\cos\phi\cos\psi&\sin\phi\\0&-\sin\phi\cos\psi&\cos\phi\end{matrix}\right]

S^{-1}=\left[\begin{matrix}1&-\cos\phi\tan\psi&\sin\phi\tan\psi\\0&\cos\phi\sec\psi&-\sin\phi\sec\psi\\0&\sin\phi&\cos\phi\end{matrix}\right]

对于第1次转动与第3次转动所绕体轴相同的欧拉转序，类似可写为

\omega=S\left[\begin{matrix}\dot{\theta_1}&\dot{\theta_2}&\dot{\theta_3}\end{matrix}\right]^T

$S$ $S^{-1}$ 可求得如下：

转序1-2-1

S=\left[\begin{matrix}\cos\theta_2&0&1\\\sin\theta_3\sin\theta_2&\cos\theta_3&0\\\cos\theta_3\sin\theta_2&-\sin\theta_3&0\end{matrix}\right]

S^{-1}=\left[\begin{matrix}0&\sin\theta_3\csc\theta_2&\cos\theta_3\csc\theta_2\\0&\cos\theta_3&-\sin\theta_3\\1&-\sin\theta_3\cot\theta_2&-\cos\theta_3\cot\theta_2\end{matrix}\right]

转序1-3-1

S=\left[\begin{matrix}\cos\theta_2&0&1\\-\cos\theta_3\sin\theta_2&\sin\theta_3&0\\\sin\theta_3\sin\theta_2&\cos\theta_3&0\end{matrix}\right]

S^{-1}=\left[\begin{matrix}0&-\cos\theta_3\csc\theta_2&\sin\theta_3\csc\theta_2\\0&\sin\theta_3&-\cos\theta_3\\1&-\cos\theta_3\cot\theta_2&-\sin\theta_3\cot\theta_2\end{matrix}\right]

转序2-1-2

S=\left[\begin{matrix}\sin\theta_3\sin\theta_2&\cos\theta_3&0\\\cos\theta_2&0&1\\-\cos\theta_3\sin\theta_2&\sin\theta_3&0\end{matrix}\right]

S^{-1}=\left[\begin{matrix}\sin\theta_3\sin\theta_2&0&-\cos\theta_3\sin\theta_2\\\cos\theta_3&0&\sin\theta_3\\-\sin\theta_3\cot\theta_2&0&\cos\theta_3\cot\theta_2\end{matrix}\right]

转序2-3-2

S=\left[\begin{matrix}\cos\theta_3\sin\theta_2&-\sin\theta_3&0\\\cos\theta_2&0&1\\\sin\theta_3\sin\theta_2&\cos\theta_3&0\end{matrix}\right]

S^{-1}=\left[\begin{matrix}\cos\theta_3\csc\theta_2&0&\sin\theta_3\csc\theta_2\\-\sin\theta_3&0&\cos\theta_3\\-\cos\theta_3\cot\theta_2&1&-\sin\theta_3\cot\theta_2\end{matrix}\right]

转序3-1-3

S=\left[\begin{matrix}\sin\theta_3\sin\theta_2&\cos\theta_3&0\\\cos\theta_3\sin\theta_2&-\sin\theta_3&0\\\cos\theta_2&0&1\end{matrix}\right]

S^{-1}=\left[\begin{matrix}\sin\theta_3\csc\theta_2&\cos\theta_3\csc\theta_2&0\\\cos\theta_3&-\sin\theta_3&0\\-\sin\theta_3\cot\theta_2&-\cos\theta_3\cot\theta_2&1\end{matrix}\right]

转序3-2-3

S=\left[\begin{matrix}-\cos\theta_3\sin\theta_2&\sin\theta_3&0\\\sin\theta_3\sin\theta_2&\cos\theta_3&0\\\cos\theta_2&0&1\end{matrix}\right]

S^{-1}=\left[\begin{matrix}-\cos\theta_3\csc\theta_2&\sin\theta_3\csc\theta_2&0\\\sin\theta_3&\cos\theta_3&0\\\cos\theta_3\cot\theta_2&-\sin\theta_3\cot\theta_2&1\end{matrix}\right]

$q$ 的姿态描述，其姿态运动学方程可表示为

\left[\begin{matrix}\dot{q_1}\\\dot{q_2}\\\dot{q_3}\\\dot{q_4}\end{matrix}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix}0&\omega_z&-\omega_y&\omega_x\\-\omega_z&0&\omega_x&\omega_y\\\omega_y&-\omega_x&0&\omega_z\\-\omega_x&-\omega_y&-\omega_z&0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}q_1\\q_2\\q_3\\q_4\end{matrix}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix}q_4&-q_3&q_2&q_1\\q_3&q_4&-q_1&q_2\\-q_2&q_1&q_4&q_3\\-q_1&-q_2&-q_3&q_4\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}\omega_x\\\omega_y\\\omega_z\\0\end{matrix}\right]

上式可表示为如下简洁形式：

\dot{\mathbf{q}}=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix}-\mathbf{\omega}^\times&\mathbf{\omega}\\-\mathbf{\omega}^T&0\end{matrix}\right]\mathbf{q}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}q_4\mathbf{I}+\left[\begin{matrix}\mathbf{q}_v^\times&\mathbf{q}_v\\-\mathbf{q}_v^T&0\end{matrix}\right]\end{pmatrix}\left[\begin{matrix}\mathbf{\omega}\\0\end{matrix}\right]

姿态动力学

$C$ $\mathbf{h}$ $T$ 。根据矢量在不同坐标系下的时间导数关系式，有

\begin{pmatrix}\frac{d\mathbf{h}}{dt}\end{pmatrix}_I=\begin{pmatrix}\frac{d\mathbf{h}}{dt}\end{pmatrix}_b+\mathbf{\omega}\times\mathbf{h}=\mathbf{T}

式中，下标“I”与“b”分别表示惯性系下时间导数与刚体固联坐标系下的时间导数。

由于

\begin{pmatrix}\frac{d\mathbf{h}}{dt}\end{pmatrix}_b=\mathbf{\dot{J}\omega}+\mathbf{J\dot{\omega}}

$\mathbf{\dot{J}}=\mathbf{0}$ ，则可写为

\begin{pmatrix}\frac{d\mathbf{h}}{dt}\end{pmatrix}_I=\mathbf{J\dot{\omega}}+\mathbf{\omega}^\times\mathbf{h}=\mathbf{T}

$\mathbf{\omega}=\left[\begin{matrix}\omega_x&\omega_y&\omega_z\end{matrix}\right]^T$ $\mathbf{T}=\left[\begin{matrix}T_x&T_y&T_z\end{matrix}\right]^T$ 代入上式可得分量式

\left[\begin{matrix}J_x&-J_{xy}&-J_{xz}\\-J_{yx}&J_y&-J_{yz}\\-J_{xz}&-J_{yz}&J_z\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}\dot{\omega_x}\\\dot{\omega_y}\\\dot{\omega_z}\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}\omega_x\\\omega_y\\\omega_z\end{matrix}\right]^\times\left[\begin{matrix}J_x&-J_{xy}&-J_{xz}\\-J_{yx}&J_y&-J_{yz}\\-J_{xz}&-J_{yz}&J_z\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}T_x\\T_y\\T_z\end{matrix}\right]

$\mathbf{f}_b$ 与惯性主轴坐标系重合时，上述方程式可简化为

\begin{cases}J_x\dot{\omega_x}-(J_y-J_z)\omega_y\omega_z=T_x\\J_y\dot{\omega_y}-(J_z-J_x)\omega_x\omega_z=T_y\\J_z\dot{\omega_z}-(J_x-J_y)\omega_x\omega_y=T_z\end{cases}

坐标系

1.J2000地心赤道惯性坐标系O_EX_IY_IZ_I

2.瞬时平赤道坐标系O_EX_{I-MOD}Y_{I-MOD}Z_{I-MOD}

3.瞬时真赤道坐标系O_EX_{I-TOD}Y_{I-TOD}Z_{I-TOD}

4.轨道坐标系OX_oY_oZ_o

5.本体坐标系OX_bY_bZ_b

6.发射坐标系o'_0x'y'z'

7.WGS_84坐标系O_Ex_Wy_Wz_W