运载火箭的概念运载火箭飞行原理作用在火箭上的力1.推力2.引力3.空气动力4.控制力火箭的理想速度和宇宙速度理想速度宇宙速度第一宇宙速度第二宇宙速度第三宇宙速度运载火箭的主要技术指标运载能力入轨精度入轨姿态精度有效载荷整流罩净空间有效载荷接口环境要求可靠性要求运载火箭的总体设计方案火箭构型的选择火箭级数的选择有效载荷方案推进系统方案分析与选择控制系统方案制导系统姿控系统控制系统综合设计发动机推力矢量控制方案常用坐标系及转换常用坐标系坐标系间的转换关系飞行动力学作用在火箭上的力和力矩地球引力气动力与气动力矩地球大气气动力气动力矩发动机推力与力矩火箭飞行动力学方程质心动力学方程绕质心动力学方程轨道动力学方程开普勒轨道方程飞行轨道的确定运载火箭姿态动力学方程非捆绑运载火箭姿态动力学模型火箭飞行中受到的力和力矩液体晃动方程弹性振动方程质心动力学方程绕质心动力学方程非捆绑运载火箭姿态动力学方程

运载火箭的概念

运载火箭飞行原理

$v$ $u_e$ $\dot{m_F}$ 表示，则火箭每瞬时的质量随时间的变化关系可表示为

m=m_0-\int_0^t\dot{m_F}dt

$m_0$ ——火箭起飞时刻的质量

$m$ $t$ 时刻的质量

$\frac{dm}{dt}$ $\dot{m_F}=-\frac{dm}{dt}$ 。

$dt$ 时段内的动量变化等于外力的冲量。由此可以导出下式：

m\frac{dv}{dt}=-\frac{dm}{dt}u_e+\sum F_i

$\frac{dm}{dt}u_e$ ——表示发动机燃气流速度的动量变化率，即火箭推力；

$\sum F_i$ 表示作用在火箭上的其他外力的合力。

作用在火箭上的力

1.推力

$p_e$ $p_a$ 不相等产生的，称为火箭推力的静分量。火箭推力的表达式为

P=\dot{m_F}u_e+(p_e-p_a)A_e

$A_e$ $p_e$ 分别为火箭发动机喷管出口的截面积和静压力。

2.引力

$G_0$ $F_I$ 。则重力表达式为

G=G_0+F_I=mg+F_I

$R_0$ $g_0$ $H$ 有如下：

g=g_0\frac{R_0^2}{(R_0+H)^2}

火箭所受到的离心加速度为

a=(R_0+H)\omega_z^2\cos\phi

$R_0$ ——地球半径，其平均值为6371km；

$g_0$ $g_0=9.806m/s^2\approx9.81m/s^2$ ；

$\phi$ ——地球维度角；

$\omega_z$ $\omega_z=7.992\times10^{-5}rad/s$ 。

3.空气动力

$R$ $X$ $Y$ $Z$ 。空气动力的表达式为

R=(X^2+Y^2+Z^2)^{-2}

$R$ 还产生相应的启动力矩。

4.控制力

由于提供控制力的方法不同，控制力的形式各不相同。

火箭的理想速度和宇宙速度

理想速度

$\sum F_i$ 为零，火箭的运动方程式可以简化为

m\frac{dv}{dm}=-\frac{dm}{dt}u_e

进而可以导出

v=-u_eln\frac{m}{m_0}

此式即为火箭的理想速度，也成为齐奥尔科夫斯基公式。把火箭关机点的条件代入上式，即可得到火箭关机时刻能达到的理想速度为

v_k=-u_eln\frac{m_k}{m_0}=-u_eln\mu_k

或

m_0=m_ke^{\frac{v_k}{u_e}}

$m_0$ ——起飞时刻火箭的质量；

$m_k$ ——关机时刻火箭的质量；

$\mu_k$ $\mu_k=\frac{m_k}{m_0}$ 。

提高火箭的飞行速度由两个办法，一是提高火箭发动机产生的燃气流喷出速度，选用高能推进剂，并提高火箭发动机的性能；另一个办法是降低火箭的结构系数，即尽可能减轻火箭关机点的死重，尽量增加推进剂的加注量。

多级火箭由几个独立的单级火箭组成，它与单级火箭相比有以下优点：

1）多级火箭在每级工作完毕后可以抛掉不需要的质量，因而在火箭飞行过程中，能够获得良好的加速性能，逐步达到预定的飞行速度；

2）多级火箭各级发动机是独立工作的，可以按照每一级的飞行条件设计发动机，使发动机处于较好的工作状态；

3）多级火箭可以灵活地选择每一级推力的大小和工作时间，以适应发射轨道要求、轨道测量要求以及飞行过载的要求。

多级火箭的理想速度

v_k=-\sum_{i=1}^nu_{ei}ln\mu_{ki}

$n$ $u_{ei}$ $\mu_{ki}$ $i$ 级喷射速度和停火点质量比。

$u_{ei}$ $\mu_{ki}$ 相等时

v_k=-nu_{e}ln\mu_{k}

则有

\mu_k=\sqrt[n]{e^{-v_k/u_e}}

$\mu_k$ 的要求。

宇宙速度

第一宇宙速度

人造飞行器能够在空间围绕地球作圆周运动而不被地球的引力拉下来所必须具有的速度就是第一宇宙速度。

按照牛顿理论，忽略大气的作用，假设地球为圆球，可以导出第一宇宙速度的表达式

v_Ⅰ=\sqrt{g_0R}\sqrt{R/r}

$r$ 为飞行器至地球中心的距离

$r=R$ 时

v_Ⅰ=\sqrt{9.81\times6371004}=7.91km/s

$v_Ⅰ$ 为第一宇宙速度。

第二宇宙速度

当人造航天器围绕地球作圆周运动的速度超过第一宇宙速度并达到一定值时，飞行器就会脱离地球的引力而进入太阳系，成为太阳系中的一颗人造卫星。此时人造航天器达到的速度叫做第二宇宙速度，也称为“逃逸速度”。

由理论分析，可以导出第二宇宙速度的理论计算公式

v_Ⅱ=\sqrt{2g_0R}\sqrt{R/r}

$r=R$ 时

v_Ⅱ=\sqrt{2g_0R}=11.18km/s

第二宇宙速度是人造航天器在地球表面脱离地球引力场，进入太阳系所需的最小速度。

第三宇宙速度

从地球表面发射的人造航天器，脱离太阳系进入宇宙所需的最小速度叫作第三宇宙速度。同样，可以导出第三宇宙速度为

v_Ⅲ=16.63km/s

运载火箭的主要技术指标

运载能力

运载火箭的运载能力是根据有效载荷的质量、目标轨道及发射场的地理位置所确定的。一般轨道有

近地轨道LEO（Low Earth Orbit）；

地球同步转移轨道GTO（Geosynchronous Transfer Orbit）；

太阳同步轨道SSO（Sun Synchronous Orbit）；

中近地轨道LMEO（Low - Medium Earth Orbit）；

地球同步静止轨道GEO（Geostationary Earth Orbit）。

入轨精度

$a$ $e$ $h$ $i$ $\Omega$ $T$ 。这些要素的精度是由入轨点的位置偏差、速度偏差和发射时间偏差所决定的，它取决于运载火箭的制导精度及发射时刻的偏差。

入轨姿态精度

入轨姿态精度指有效载荷分离后有效载荷的姿态角偏差及角速度。入轨点的初始姿态及角速度精度由火箭姿态控制系统所确定。

有效载荷整流罩净空间

有效载荷整流罩内可供安装有效载荷的空间称为净空间。净空间的规定明确了有效载荷的外包络不能超过所规定的净空间。规定净空间必须考虑静态的各种对接框的机械加工误差及动态（飞行时）的各种热、力载荷引起的变形。

有效载荷接口

有效载荷接口包括机械接口和电气接口。

机械接口主要是指有效载荷与火箭对接的尺寸和连接、分离方式。国际上通用的机械接口有937、1194、1497等，它是指对接的名义尺寸，单位为mm。

电气接口主要指有效载荷需要运载火箭提供的电信号特征及相互间电气连接的协调关系，如接插件的型号、接电数、电特性等。

环境要求

环境包括过载、冲击、振动、噪声、热、电磁兼容等。

可靠性要求

可靠性是指火箭在规定的条件下和规定的时间内，完成规定任务的概率。

可靠性包括飞行可靠性和发射可靠性。

火箭飞行可靠性定义：运载火箭完成发射点火后，在规定的环境条件下，按规定的飞行程序及要求，将有效载荷送入规定轨道的能力。

火箭发射可靠性定义：火箭运载系统在规定的贮存期内，在规定的地面环境条件下，按规定的要求完成发射准备及点火任务的能力。

运载火箭的总体设计方案

火箭构型的选择

选择火箭构型包括采用液体火箭或者固体火箭、单级火箭或者多级火，以及多级火箭的连接方式等。

一般液体低轨道运载火箭为两级，中、高轨道运载火箭为三级或三级以上，逃逸轨道和星际航行轨道运载火箭为三级或三级以上。

固体运载火箭多为三级或三级以上。

中、小型运载火箭，级间多采用串联组合；大型、重型运载火箭一般采用并联和串联组合型，一子级为火箭并联组合或贮箱并联组合，二子级为贮箱串联组合或贮箱并联组合，二子级或三子级串联在下面子级的芯级或中间贮箱上。地轨道的大型、重型运载火箭，可采用并联的所谓“一级半”或“二级半”的组合型式，即助推火箭提前分离掉的芯级并联助推器组合方案或双并联-串联（指一、二子级均为并联捆绑组合，级间串联组合）组合方案。

多级火箭的连接方式有串联、并联和混合式三种方案。

串联式方案有下述优点：

1）对接机构简单，火箭结构紧凑，总体结构功效高，故起飞质量较小；

2）级间分离可靠，分离故障少；

3）气动阻力小；

4）装配、运输、发射设备简单。

串联式的缺点：

1）必须分别设计和研制每一级，尤其是对大型火箭，需要设计和研制大直径结构，因此增加了研制周期和成本；

2）在飞行中，第二级及以后各级发动机的点火，均处于高空低压状态，复杂可靠性降低；

3）火箭长细比大，抗弯曲刚度差，对飞行中的弹性振动稳定不利，使运输和飞行中的横向载荷加大；

4）火箭长度大，增加了发射设备和勤务操作的困难。

并联式是将火箭的各级纵轴平行（或倾斜一个小角度）组合，故常称为“捆绑式”结构。并联式火箭各级之间的连接，可以是机械分离连接结构，还可以用液压机构将各级推进剂输送系统连接在一起。发射时可以使先旁侧级火箭点火工作，推进剂耗尽后分离，然后中间发动机点火工作继续飞行，也可以是中间发动机与旁侧发动机同时点火，然后依次抛掉或同时抛掉。

并联式火箭有以下优点：

1）长度短；

2）发射时个发动机在地面同时点火，可靠性高；

3）由于使用通用件或已有火箭组合，因此可简化和加快大型火箭的研制进度，节省经费和提高可靠性；

4）并联式火箭的各部分能做成可拆卸的，因此运输比较方便。

并联式有以下缺点：

1）火箭的径向尺寸大，因此发射设备比较复杂且费用高；

2）由于级间连接机构复杂、装配麻烦，因此总体结构功效低，起飞质量加大；

3）推力偏心干扰大，要求加大控制力矩；

4）级间分离干扰大，降低了分离的可靠性；

5）迎风面积大，气动阻力加大。

混合式方案是将串联式和并联式组合在一起。

火箭级数的选择

一般来说，中程以上的弹道导弹和大型运载火箭均采用多级运载火箭，它与单级运载火箭比有以下优点：

（1）多级火箭在每级工作结束后可以抛掉不需要的质量，因而在火箭的飞行过程中，能够获得良好的加速性能，逐步达到预定的飞行速度。

（2）多级火箭各级发动机是独立工作的，可以按照每一级的飞行条件设计发动机，使发动机处于最佳工作状态，也就提高了火箭的飞行性能。

（3）多级火箭可以灵活地选择每一级推力的大小和工作时间，以适应发射轨道的要求、轨道测量要求以及卫星和载人飞船对飞行过载的要求。

在讨论多级火箭的级数选择之前，先定义几个名词术语。

（1）级（或子火箭）——起飞时整个火箭称为第一级火箭，第一级火箭发动机工作完毕后，抛去无用部分壳体，剩余部分称为第二级，依此类推。

$n$ $n$ 子级。

$\sigma$ ——某子级除去推进剂后剩余质量与该子级总质量之比。

$\varepsilon$ $i+1$ $i$ 级火箭质量之比。

（5）有效载荷——指火箭最后一级所运载的弹头或卫星等航天器。

$E$ $m_p/m_0$ ）。

$n$ 也可以使火箭获得较高的飞行速度。尤其在大的有效载荷比时性能提高的幅度更大。

对级数选择做一个粗略的定量分析，其分析步骤如下：

1）按有效载荷轨道要求换算成需要的理想速度；

2）按有效载荷的质量及所需的理想速度估算出火箭起飞质量或载荷比的范围；

3）在确定选用的推进剂后估算出真空比冲；

4）按经验统计数据给出各子级的结构系数；

5）计算分析得出级数。

实际上，级数选择并不完全依靠计算结果，通常按经验及国内现有的技术水平来决定级数。

有效载荷方案

运载火箭在确定总体方案时，主要关心有效载荷的特性有以下几项：

1）有效载荷的轨道要求；

2）有效载荷的最大质量；

3）有效载荷的质量特性：质心位置，绕纵、横轴的惯量及惯量矩，推进剂充填系数等；

4）有效载荷的最大轮廓尺寸；

5）有效载荷的机械接口与电气接口；

6）有效载荷分离时的姿态要求等

推进系统方案分析与选择

液体和固体火箭发动机相比较特点如下：

1）液体火箭能量大、比冲高，尤其是低温推进剂能达到很高的比冲，这对大型火箭是十分重要的；

2）液体火箭发动机推力调节和推力向量控制比较容易，能够连续调节推力大小和采用多种向量控制方式，这对运载火箭进行长时间多种轨道的飞行是很方便的；

3）液体火箭加速性不如固体火箭快，这对航天飞行（例如载人飞行）有利，对作战使用不利；

4）液体火箭发动机参数随飞行时间变化不大，且发动机性能偏差小，基本上不受环境条件（例如环境温度）的影响，而固体发动机则相反；

5）固体推进剂密度大，可以减小火箭的尺寸和质量，对武器使用性能有利；

6）固体推进剂不需要在发射场临时加注，因而可缩短发射准备时间；

7）固体火箭发动机结构简单，系统可靠性高；

8）固体火箭发动机维护使用方便，经济性好。

控制系统方案

运载火箭控制系统的作用是控制火箭姿态稳定，使其按预定弹道飞行，并控制火箭发动机关机，达到预定的速度，将有效载荷送入预定的轨道。

运载火箭控制系统方案有自主式、指令式和混合式。目前，运载火箭多采用自主式控制系统，实现制导、姿态控制和测试发射控制功能，由敏感元件、中间装置、供配电装置。执行机构和测试发射控制系统组成。

控制系统按功能和专业技术特点又可分为制导系统、姿态控制系统（以下称姿控系统）、电源配电系统和测发系统。

制导系统由测量、控制装置和计算机组成，其功用是测量和计算火箭的位置、速度、加速度、射程、轨道参数等，与预先装定的参数比较，形成制导指令。

姿态控制系统由敏感装置、计算机和执行机构三部分组成。敏感装置测量箭体姿态的变化并输出信号；计算机对各姿态信号和引导指令按一定的控制规律进行运算、校正和放大并输出控制信号；执行机构根据控制信号产生控制力矩，控制火箭的姿态。

控制系统综合包括电源配电、时序和测试线路等，将制导和姿态控制系统综合组成一个完整系统。

制导系统

制导系统的任务是在火箭飞行中，克服各种干扰，适时发出关机指令和导引指令，保证火箭沿预定轨道飞行和有效载荷的入轨精度。

制导包括导航、引导及关机三部分。导航是显示火箭的飞行状态，它可以直接解算出火箭实时的速度与位置，称显式制导；也可以不解算出火箭实时的位置和速度，而计算出特征量来进行引导或关机，称隐式制导。导引是将火箭导向制导期望的飞行路线。关机方程可以是简单的按小扰动原理建立的摄动制导关机方程，也可以按落点（或理论弹道关机点）迭代求出特征量进行全量制导的关机方程。

制导系统设计的主要工作是确定导航方程、关机方程、引导方程、实现工具误差补偿。

姿控系统

运载火箭姿控系统的主要任务是，通过来自敏感装置的姿态信息控制火箭绕质心的运动，确保各级、段在各种内外干扰作用下稳定飞行，使各状态量（姿态及摆角等）控制在允许的范围之内；按飞行程序信号和制导系统发出的引导信号，通过改变运载火箭姿态，实现制导系统对运载火箭绕质心运动的要求；对运载火箭上面级进行调姿定向。

控制系统综合设计

控制系统综合设计，是将制导、姿控方案设计提出的各种参数要求和总体设计对控制系统提出的各项要求，转化为对系统的线路（整机）划分，以及对各个具体线路（整机或整件）的参数、输入输出的信号形式、传输、匹配、动作时序以及操纵开关等等的具体要求的工程设计。

发动机推力矢量控制方案

推力矢量控制是一种通过主推力相对于弹轴的偏转产生改变火箭方向所需操纵力及力矩的技术。推力矢量控制一般是指推力大小和方向均受控制。

不同用途和运载能力的火箭对推力矢量控制装置的要求不尽相同，但是基于完成控制和稳定任务的一些基本要求是相同的。推力矢量控制装置应满足以下基本要求：

（1）应有足够大的致偏能力。致偏能力是指系统在一定效率下所能达到的最大推力向量偏角，其大小直接反映了推力向量控制系统能提供的侧向控制力的大小。

（2）作动力矩要小。推力矢量控制装置的作动力矩直接影响伺服机构（亦称执行机构）功率、质量、尺寸的大小。

（3）动态特性要好。与伺服机构一起作为控制系统执行机构的推力矢量控制装置应具有较好的动态响应特性，控制指令信号与控制力之间应有良好的线性关系，滞后小，频率响应快。

（4）轴向推力损失应小。大多数推力矢量控制装置会造成发动机轴向推力损失，从而造成速度和射程损失。

（5）工作可靠，质量小，结构紧凑，维护使用方便，易于制造，成本低廉。

常用坐标系及转换

常用坐标系

$OX_gY_gZ_g$

$O$ $OY_g$ $B_0$ $OX_g$ $OY_g$ $A_0$ $A_0=0^\circ$ $OX_g$ $A_0$ $OZ_g$ 轴按右手法则确定。

$OXYZ$

$OX_gY_gZ_g$ 固化在惯性空间的惯性坐标系，其原点及坐标系各轴的方向在惯性空间保持不变。

$O_EX_aY_aZ_a$

$O_EX_aY_aZ_a$ ，其坐标轴与发射点惯性坐标系各轴保持平行。

$O_EX_EY_EZ_E$

$Z_E$ $X_E$ $Z_E$ $Y_E$ 轴构成右手坐标系。发射瞬时确定，不随地球自转。

$O_1X_1Y_1Z_1$

$O_1$ $O_1X_1$ $O_1Y_1$ $O_1X_1$ $O_1Z_1$ 轴由右手法则确定。

$O_1X_VY_VZ_V$

$O_1$ $O_1X_V$ $O_1Y_V$ $O_1X_V$ $O_1Z_V$ 轴由右手法则确定。

$O_EX_{84}Y_{84}Z_{84}$

全球卫星导航系统（GNSS）输出的定位结果以WGS84坐标系中参数表示，该坐标系属于BIH（国际时间局）定义的1984.0年新纪元参考框架。其坐标原点定义于地球质心，Z轴指向BIH1984.0协议地极（CTP），X轴指向BIH1984.0的零子午面和CTP相应赤道的交点，Y轴与X轴、Z轴构成右手坐标系。

$O_EX_GY_GZ_G$

$O_EX_G$ $O_EZ_G$ $O_EY_G$ 轴构成右手坐标系。

$OX_TY_TZ_T$

$OY_T$ $k$ $OZ_T$ $OX_T$ 构成右手坐标系。

$O_1X_hY_hZ_h$

$O_1$ $O_1X_h$ $O_1X_V$ $O_1Y_h$ $O_1X_h$ $O_1Z_h$ $O_1X_h$ $O_1Y_h$ 构成右手坐标系。弹道坐标系也常称为半速度坐标系。

$o_1x_1y_1z_1$

$o_1$ $o_1o_1$ $O_1X_1$ $o_1y_1$ $O_1Y_1$ $o_1z_1$ $o_1x_1$ $o_1y_1$ 轴构成右手坐标系。

$o_Ⅰx_Ⅰy_Ⅰz_Ⅰ$ $o_Ⅱx_Ⅱy_Ⅱz_Ⅱ$ $o_Ⅲx_Ⅲy_Ⅲz_Ⅲ$ $o_Ⅳx_Ⅳy_Ⅳz_Ⅳ$ $o_i(i=Ⅰ,\cdots,Ⅳ)$ $o_ix_i$ $o_iy_i$ $o_iz_i$ $o_ix_i$ $o_iy_i$ $o_iz_i$ 轴平行且指向一致。

$O'_1X_1Y_1Z_1$

$O'_z$ $x_R$ $O'_1X_1$ $O'_1Z_1$ $O'_1X_1$ $O'_1X_1$ $O'_1Y_1$ 根据右手定则确定。当发动机摆动时，喷管坐标系随着喷管一起运动。

$O_ⅠX_ⅠY_ⅠZ_Ⅰ$ $O_ⅡX_ⅡY_ⅡZ_Ⅱ$ $O_ⅢX_ⅢY_ⅢZ_Ⅲ$ $O_ⅣX_ⅣY_ⅣZ_Ⅳ$ $O_i(i=Ⅰ,\cdots,Ⅳ)$ $O'_iX_i$ $O'_iZ_i$ $O'_iX_i$ $O'_iX_i$ $O'_iY_i$ 根据右手定则确定。

坐标系间的转换关系

坐标系转换包括坐标系的平移和转动。

1）坐标系平移。平移公式如下

\begin{cases}x'=x-x_0\\y'=y-y_0\\z'=z-z_0\end{cases}

$x,y,z$ ——分别为旧坐标；

$x',y',z'$ ——分别为新坐标；

$x_0,y_0,z_0$ $o'$ 在旧坐标系中的坐标。

2）坐标系转动。坐标系转动见下式

\begin{cases}x'=l_1x+m_1y+n_1z\\y'=l_2x+m_2y+n_2z\\z'=l_3x+m_3y+n_3z\end{cases}

$l_i,m_i,n_i(i=1,2,3)$ $o'x',o'y',o'z'$ 相对就坐标系的方向余弦。

$\mathbf{L}$ ，或称转动矩阵

\mathbf{L}=\left[\begin{matrix}l_1&m_1&n_1\\l_2&m_2&n_2\\l_3&m_3&n_3\end{matrix}\right]

则新旧坐标系之间的变换公式见下式

\left[\begin{matrix}x'\\y'\\z'\end{matrix}\right]=\mathbf{L}\left[\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right]

$i$ $(i=1,2,3)$ $\alpha$ $\mathbf{M}_i(\alpha)$ $\mathbf{M}_i(\alpha)$ 的表示形式见下式

\mathbf{M}_1(\alpha)=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&\cos\alpha&\sin\alpha\\0&-\sin\alpha&\cos\alpha\end{matrix}\right]

\mathbf{M}_2(\alpha)=\left[\begin{matrix}\cos\alpha&0&-\sin\alpha\\0&1&0\\\sin\alpha&0&\cos\alpha\end{matrix}\right]

\mathbf{M}_3(\alpha)=\left[\begin{matrix}\cos\alpha&\sin\alpha&0\\-\sin\alpha&\cos\alpha&0\\0&0&1\end{matrix}\right]

一般坐标系的转动，可以用三个欧拉角的顺序旋转来表示。

下面介绍几个主要的转换关系。一般的，运载火箭按照3-2-1转序。在坐标系转换中，只进行角度见的转换，如果坐标系远点不重合，首先将坐标系平移，使其原点重合。

$O_1X_1Y_1Z_1$ $OXYZ$ 的转换

箭体坐标系与发射点惯性坐标系之间的关系可以确定运载火箭的三个姿态角。三个姿态角的定义是：

$\phi$ $O_1X_1$ $OXZ$ 之间的夹角；

$\psi$ $O_1X_1$ $OXY$ 之间的夹角；

$\gamma$ $O_1Y_1$ $OXY$ 之间的夹角。

$OXYZ$ $Z$ $\phi$ $Y$ $\psi$ $X$ $X_1$ $X_1$ $\gamma$ $O_1X_1Y_1Z_1$ 。

转换可由如下公式表示

\left[\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right]=[\mathbf{A}]\left[\begin{matrix}X_1\\Y_1\\Z_1\end{matrix}\right]

式中

[\mathbf{A}]=\left[\begin{matrix}\cos\phi&-\sin\phi&0\\\sin\phi&\cos\phi&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\times\left[\begin{matrix}\cos\psi&0&\sin\psi\\0&1&0\\-\sin\psi&0&\cos\psi\end{matrix}\right]\times\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&\cos\gamma&-\sin\gamma\\0&\sin\gamma&\cos\gamma\end{matrix}\right]\\=\left[\begin{matrix}\cos\phi\cos\psi&-\sin\phi\cos\gamma+\cos\phi\sin\psi\sin\gamma&\sin\phi\sin\gamma+\cos\phi\sin\psi\cos\gamma\\\sin\phi\cos\psi&\cos\phi\cos\gamma+\sin\phi\sin\psi\sin\gamma&-\cos\phi\sin\gamma+\sin\phi\sin\psi\cos\gamma\\-\sin\psi&\cos\psi\sin\gamma&\cos\psi\cos\gamma\end{matrix}\right]

$OXYZ$ $OX_gY_gZ_g$ 的转换

$t$ $\omega_et$ 。

根据坐标转换旋转关系，不难得出

\left[\begin{matrix}x_g\\y_g\\z_g\end{matrix}\right]=[\mathbf{C}_a^F]\left[\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right]

$[\mathbf{C}_a^F]$ ——发射坐标惯性坐标系到发射坐标系之间的转换矩阵

[\mathbf{C}_a^F]=\left[\begin{matrix}a'_{11}&a'_{12}&a'_{13}\\a'_{21}&a'_{22}&a'_{23}\\a'_{31}&a'_{32}&a'_{33}\end{matrix}\right]

式中

\begin{cases}a'_{11}=\cos^2\mathbf{A}_0\cos^2\mathbf{B}_0(1-\cos\omega_et)+\cos\omega_et\\a'_{12}=\cos\mathbf{A}_0\cos\mathbf{B}_0\cos\mathbf{B}_0(1-\cos\omega_et)-\sin\mathbf{A}_0\cos\mathbf{B}_0\sin\omega_et\\a'_{13}=-\sin\mathbf{A}_0\cos\mathbf{A}_0\cos^2\mathbf{B}_0(1-\cos\omega_et)-\sin\mathbf{B}_0\sin\omega_et\\a'_{21}=\cos\mathbf{A}_0\sin\mathbf{B}_0\cos\mathbf{B}_0(1-\cos\omega_et)+\sin\mathbf{A}_0\cos\mathbf{B}_0\sin\omega_et\\a'_{22}=\sin^2\mathbf{B}_0(1-\cos\omega_et)+\cos\omega_et\\a'_{23}=-\sin\mathbf{A}_0\sin\mathbf{B}_0\cos\mathbf{B}_0(1-\cos\omega_et)+\cos\mathbf{A}_0\cos\mathbf{B}_0\sin\omega_et\\a'_{31}=-\sin\mathbf{A}_0\cos\mathbf{A}_0\cos^2\mathbf{B}_0(1-\cos\omega_et)+\sin\mathbf{B}_0\sin\omega_et\\a'_{32}=-\sin\mathbf{A}_0\sin\mathbf{B}_0\cos\mathbf{B}_0(1-\cos\omega_et)-\cos\mathbf{A}_0\cos\mathbf{B}_0\sin\omega_et\\a'_{33}=\sin^2\mathbf{A}_0\cos^2\mathbf{B}_0(1-\cos\omega_et)+\cos\omega_et\end{cases}

$O_1X_1Y_1Z_1$ $O_1X_VY_VZ_V$ 间的转换

速度坐标系与箭体坐标系之间存在两个角度，分别是：

$\alpha$ $O_1X_V$ $O_1X_1Y_1$ $O_1X_1$ 之间的夹角；

$\beta$ $O_1X_V$ $O_1X_1Y_1$ 平面之间的夹角。

因此，箭体坐标系与速度坐标系的转换公式为

\left[\begin{matrix}X_1\\Y_1\\Z_1\end{matrix}\right]=[\mathbf{B}]\left[\begin{matrix}X_V\\Y_V\\Z_V\end{matrix}\right]

式中

[\mathbf{B}]=\left[\begin{matrix}\cos\alpha&-\sin\alpha&0\\\sin\alpha&\cos\alpha&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\times\left[\begin{matrix}\cos\beta&0&\sin\beta\\0&1&0\\-\sin\beta&0&\cos\beta\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\cos\alpha\cos\beta&\sin\alpha&-\cos\alpha\sin\beta\\-\sin\alpha\cos\beta&\cos\alpha&\sin\alpha\sin\beta\\-\sin\beta&0&\cos\beta\end{matrix}\right]

（4）地心赤道惯性系与地心发射惯性系的转换

$[X_E\quad Y_E\quad Z_E]^T$ $[X_a\quad Y_a\quad Z_a]^T$ ，其两者有如下转换关系

\left[\begin{matrix}X_E\\Y_E\\Z_E\end{matrix}\right]=[\mathbf{C}_a^E]\left[\begin{matrix}x_a\\y_a\\z_a\end{matrix}\right]

[\mathbf{C}_a^E]=\left[\begin{matrix}-\cos A_0\sin B_0&\cos B_0&\sin A_0\sin B_0\\\sin A_0&0&\cos A_0\\\cos A_0\cos B_0&\sin B_0&-\sin A_0\cos B_0\end{matrix}\right]

$A_0$ $B_0$ ——分别为发射方位角与发射点地理纬度。

（5）地心发射惯性系与WGS84坐标系的转换

由于WGS84坐标系为非惯性坐标系，因此两坐标系的速度转换还要考虑牵连速度关系。

由WGS84坐标系到地心发射惯性坐标系的转换为

\left[\begin{matrix}x_a\\y_a\\z_a\end{matrix}\right]=[\mathbf{C}_{84}^a]\left[\begin{matrix}X_{84}\\Y_{84}\\Z_{84}\end{matrix}\right]

\left[\begin{matrix}V_x\\V_y\\V_z\end{matrix}\right]=[\mathbf{C}_{84}^a](\left[\begin{matrix}V_{84x}\\V_{84y}\\V_{84z}\end{matrix}\right]+\omega_{e0}\left[\begin{matrix}-Y_{84}\\X_{84}\\0\end{matrix}\right])

由地心发射惯性坐标系到WGS84坐标系的转换为

\left[\begin{matrix}X_{84}\\Y_{84}\\Z_{84}\end{matrix}\right]=[\mathbf{C}_a^{84}]\left[\begin{matrix}x_a\\y_a\\z_a\end{matrix}\right]

\left[\begin{matrix}V_{84x}\\V_{84y}\\V_{84z}\end{matrix}\right]=[\mathbf{C}_a^{84}]\left[\begin{matrix}V_x\\V_y\\V_z\end{matrix}\right]-\omega_{e0}\left[\begin{matrix}-Y_{84}\\X_{84}\\0\end{matrix}\right]

$\omega_{e0}$ ——地球自转角速度。

$[V_{84x}\quad V_{84y}\quad V_{84z}]^T$ $[X_{84}\quad Y_{84}\quad Z_{84}]^T$ ——分别为WGS84坐标系下的速度和位置。

$[V_x\quad V_y\quad V_z]^T$ $[x_a\quad y_a\quad z_a]^T$ ——分别为地心发射惯性坐标系下的速度和位置。

$[C_{84}^a]$ ——WGS84坐标系到地心发射惯性坐标系的转换矩阵，其计算公式为

[\mathbf{C}_{84}^a]=[\mathbf{C}_a^E]^T[\mathbf{\Phi}]

[\mathbf{\Phi}]=\left[\begin{matrix}\cos\Phi&\sin\Phi&0\\-\sin\Phi&\cos\Phi&0\\0&0&1\end{matrix}\right]

\Phi=\lambda_0-\omega_{e0}\cdot t

[\mathbf{C}_a^{84}]=[\mathbf{C}_{84}^a]^T=[\mathbf{\Phi}]^T[\mathbf{C}_a^E]

$\lambda_0$ ——发射点的经度，东经为正，西经为负。

$t$ ——以起飞时刻（惯性坐标系建立的时刻）为零点的时间。

$O_1X_1Y_1Z_1$ $o_1x_1y_1z_1$ 之间的转换关系

根据箭体坐标系和辅助箭体坐标系的定义，两者之间的装换关系为

\left[\begin{matrix}X_1\\Y_1\\Z_1\end{matrix}\right]=[\mathbf{C}_E^B]\left[\begin{matrix}x_1\\y_1\\z_1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_1\\y_1\\z_1\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}X_Z\\0\\0\end{matrix}\right]

$X_Z$ $x$ 轴坐标。

（7）发射惯性坐标系与速度坐标系之间的转换

$\theta$ $\sigma$ $\upsilon$ ，坐标系间方向余弦矩阵为

[\mathbf{C}_a^V]=\left[\begin{matrix}\cos\theta\cos\sigma&\sin\theta\cos\sigma&-\sin\sigma\\\cos\theta\sin\sigma\sin\upsilon-\sin\theta\cos\upsilon&\sin\theta\sin\sigma\sin\upsilon+\cos\theta\cos\upsilon&\cos\sigma\sin\upsilon\\\cos\theta\sin\sigma\cos\upsilon+\sin\theta\sin\upsilon&\sin\theta\sin\sigma\cos\upsilon-\cos\theta\sin\upsilon&\cos\sigma\cos\upsilon\end{matrix}\right]

（8）发射惯性坐标系与弹道坐标系之间的转换

$\theta$ $\sigma$ 两次旋转到弹道坐标系。转换矩阵为

[\mathbf{C}_a^H]=\left[\begin{matrix}\cos\sigma\cos\theta&\cos\sigma\sin\theta&-\sin\sigma\\-\sin\theta&\cos\theta&0\\\sin\sigma\cos\theta&\sin\sigma\sin\theta&\cos\sigma\end{matrix}\right]

飞行动力学

作用在火箭上的力和力矩

地球引力

$M$ $m$ $F$ 为

F=\frac{GMm}{r^2}

$G$ ——万有引力常数。

$M$ $r$ 的一点的引力位为

U=\frac{GM}{r}

按上式精确计算引力位必须已知地球表面的形状和地球内部的密度分布，在目前还较难做到。但引力可由引力位函数对距离微分直接求得。地球的引力位的标准表达式可根据球函数展开式导出

U=\frac{GM}{r}[1+\sum_{n=2}^\infty\sum_{m=0}^n(\frac{a_e}{r})^rP_{nm}(\sin\phi_e)(A_{nm}\cos m\lambda+B_{nm}\sin m\lambda)]

$G$ ——地球引力系数；

$M$ ——地球质量；

$r$ ——地球外部点距地心的距离；

$\phi_e$ ——地心引力；

$\lambda$ ——经度；

$P_{nm}(\sin\phi_e)$ ——缔合勒让德函数；

$A_{nm},B_{nm}$ ——分别为与地球形状及密度有关的引力系数。

$U$ 为

U=\frac{GM}{r}[1-\sum_{n=1}^\infty J_{2n}(\frac{a_e}{r})^{2n}P_{2n}(\sin\phi_e)]

$J_4$ 即可，即

U=\frac{GM}{r}[1-\sum_{n=1}^2 J_{2n}(\frac{a_e}{r})^{2n}P_{2n}(\sin\phi_e)]

取作正常引力位。

$GM=3.986005\times10^14m^3/s^2$ ；

$a_e=6378140m$ ；

$\alpha_e=1/298.257$ ；

$J_2=1.08263\times10^{-3}$ ；

$J_4=-2.37091\times10^{-6}$ ；

$\omega_e=7.292115\times10^{-5}rad/s$ 。

勒让德函数为

P_2(\sin\phi_e)=\frac{3}{2}\sin^2\phi_e-\frac{1}{2}

P_4(\sin\phi_e)=\frac{35}{8}\sin^4\phi_e-\frac{15}{4}\sin^2\phi_e+\frac{3}{8}

$J_2$ 项，即

U=\frac{GM}{r}[1+\frac{J_2}{2}(\frac{a_e}{r})^2(1-3\sin^2\phi_e)]

$g=grad U$ $r$ $\phi_e$ $g$ $r$ 在内的子午面重合。

\begin{cases}g_r'=\frac{\partial U}{\partial r}=-\frac{GM}{r^2}[1+\frac{3}{2}J_2(\frac{a_e}{r})^2(1-3\sin^2\phi_e)]\\g_\phi'=\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial\phi}=-\frac{GM}{r^2}\frac{3}{2}J_2(\frac{a_e}{r})^2\sin2\phi_e\end{cases}

$J=(3/2)J_2$ ，则有

\begin{cases}g_r'=\frac{\partial U}{\partial r}=-\frac{GM}{r^2}[1+J(\frac{a_e}{r})^2(1-3\sin^2\phi_e)]\\g_\phi'=\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial\phi}=-\frac{GM}{r^2}J(\frac{a_e}{r})^2\sin2\phi_e\end{cases}

$J$ $g_\phi'$ $\phi$ $r$ 方向和地球旋转方向两个分量

\begin{cases}g_r=-\frac{GM}{r^2}[1+J(\frac{a_e}{r})^2(1-5\sin^2\phi_e)]\\g_{\omega e}=-2\frac{GM}{r^2}J(\frac{a_e}{r})^2\sin\phi_e\end{cases}

$a_e'$ $r$ $\phi$ 方向，可得

\begin{cases}a_{er}'=r\omega_e^2\cos^2\phi_e\\a_{e\phi}'=-r\omega_e^2\sin\phi_e\cos\phi_e\end{cases}

$r$ $\phi$ 方向上的分量为

\begin{cases}g_r'=\frac{\partial U}{\partial r}=-\frac{GM}{r^2}[1+J(\frac{a_e}{r})^2(1-3\sin^2\phi_e)]+r\omega_e^2\cos^2\phi_e\\g_\phi'=\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial\phi}=-\frac{GM}{r^2}J(\frac{a_e}{r})^2\sin2\phi_e-r\omega_e^2\sin\phi_e\cos\phi_e\end{cases}

气动力与气动力矩

地球大气

为了确定作用在火箭上的气动力，必须了解大气的基本特性。大气基本特性主要有密度、压力和温度，这些参数取决于火箭飞行的高度、地理纬度等，同时大气还受其他许多偶然因素影响，较为复杂。

标准大气表是以实际大气为特征的统计平均值为基础并结合一定的近似数值计算所形成的。1976年美国国家海洋和大气局、美国国家航空航天局、美国空军部联合制定了新的美国国家标准大气，1980年中国国家标准总局根据航空、航天等部门的工作需要发布了以1976年美国国家标准大气为基础的中华人民共和国国家标准大气（GB 1920-80）。

气动力

作用在火箭上，沿速度坐标系的力为

\begin{cases}Q_x=-C_x(1+\Delta C_x)q\cdot S_m\\Q_y=C_y^\alpha\cdot q\cdot S_m\\Q_z=-C_z^\beta\beta\cdot q\cdot S_m\end{cases}

$Q_x,Q_y,Q_z$ ——分别为气流速度系上的气动力；

$C_x,\Delta C_x$ ——分别为气动力阻力系数和阻力系数偏差；

$C_y^\alpha$ ——气动升力系数；

$C_z^\beta$ $C_z^\beta=C_y^\alpha$ ；

$\alpha$ ——火箭纵轴相对气流方向的攻角；

$\beta$ ——侧滑角；

$q$ ——动压；

$S_M$ ——箭体的特征横截面积。

$Ma$ $h$ 的函数。数据值由计算和试验给定，计算中一般有三种方法获取气动系数。

1）内插法

$C_x$ $Ma$ $h$ $C_y^\alpha$ $C_z^\beta$ $Ma$ 、攻角及侧滑角的二元变量。

2）解析法

把单变量的阻力系数用解析表达式拟合。

3）多项式法

以多段一、二次曲线逼近，是一种插值的预处理方法。

在运载火箭工程设计时一般采取内插法取定即可。

在惯性坐标系的弹道方程中，相对气流速度如下

\tilde{\mathbf{V}}=\mathbf{V}+\mathbf{w}-\mathbf{V}_e

$\mathbf{V}$ ——箭体的惯性速度；

$\mathbf{w}$ ——当地的风速矢量；

$\mathbf{V}_e$ ——地球自转引起的火箭所在空间的牵连运动速度矢量

\mathbf{V}_e=\mathbf{\omega}_e\times\mathbf{r}

\left[\begin{matrix}V_{ex}\\V_{ey}\\V_{ez}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0&-\omega_{ez}&\omega_{ey}\\\omega_{ez}&0&-\omega_{ex}\\-\omega_{ey}&\omega_{ex}&0\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right]

$\omega_{ex},\omega_{ey},\omega_{ez}$ ——分别为地球自转角速度矢量在发射点惯性坐标系内的值。

$Ma$

Ma=\frac{\tilde{V}}{a}

a=a_0\sqrt{\frac{p/p_0}{\rho/\rho_0}}

$a_0$ ——地面标准声速；

$p/p_0$ ——相对压强；

$\rho/\rho_0$ ——相对密度。

同时可由下式计算动压

q=0.5\cdot\rho[1+\Delta\rho]\cdot\tilde{V}^2

$\rho$ $h$ 时的大气密度；

$\Delta\rho$ ——大气密度偏差。

$\alpha$ $\beta$ 可通过箭体纵轴与相对气流速度的夹角分量来获取。

\alpha=\arcsin(-\tilde{V}_{y1}/\sqrt{\tilde{V}_{x1}^2+\tilde{V}_{y1}^2})\quad|\alpha|\leq\frac{\pi}{2}

\beta=\arcsin(\tilde{V}_{z1}/\sqrt{\tilde{V}_{x1}^2+\tilde{V}_{y1}^2+\tilde{V}_{z1}^2)}\quad|\alpha|\leq\frac{\pi}{2}

\left[\begin{matrix}\tilde{V_{x1}}\\\tilde{V_{y1}}\\\tilde{V_{z1}}\end{matrix}\right]=[\mathbf{C}_b^a]^T\left[\begin{matrix}\tilde{V_x}\\\tilde{V_y}\\\tilde{V_z}\end{matrix}\right]

$\mathbf{C}_b^a$ ——箭体坐标系到发射惯性坐标系的坐标转换矩阵。

根据速度坐标系与箭体坐标系之间的坐标转换，气动力在箭体坐标系的分量为

\left[\begin{matrix}R_{bx}\\R_{by}\\R_{bz}\end{matrix}\right]=[\mathbf{C}_V^b]^T\left[\begin{matrix}Q_x\\Q_y\\Q_z\end{matrix}\right]

$\mathbf{C}_V^b$ ——速度坐标系到箭体坐标系的转换矩阵

[\mathbf{C}_V^b]=\left[\begin{matrix}\cos\alpha\cos\beta&\sin\alpha&-\cos\alpha\sin\beta\\-\sin\alpha\cos\beta&\cos\alpha&\sin\alpha\sin\beta\\\sin\beta&0&\cos\beta\end{matrix}\right]

气动力矩

$R$ 的作用点位于火箭纵轴上，该作用点称为压心。

作用于火箭的气动力矩包括净气动力矩和阻尼力矩。净气动力矩简称气动力矩。考虑气动力对于质心的力臂

\begin{cases}L_{Rx}=L_K\cdot X_{CP}-X_{CG}\\L_{Ry}=-Y_{CG}-h_{Ty}\\L_{Rz}=-Z_{CG}-h_{Tz}\end{cases}

$L_K$ ——气动参考长度；

$X_{CP}$ ——气动压心系数；

$X_{CG},Y_{CG},Z_{CG}$ ——分别为质心位置；

$h_{Ty},h_{Tz}$ ——分别为质心横移。

气动力矩为

\mathbf{M}_{ba}=\mathbf{L}_R\times\mathbf{R}

$\mathbf{L}_R=[L_{Rx}\quad L_{Ry}\quad L_{Rz}]^T$ ；

$\mathbf{R}=[R_{x1}\quad R_{y1}\quad R_{z1}]^T$ 。

火箭在运动中有转动时，存在大气的阻尼，表现为组织转动的气动力矩，这一力矩称为阻尼力矩。该力矩的方向总是与转动方向相反，对转动角速度起阻尼作用。在分析和计算火箭质心运动时，一般可以不考虑。

发动机推力与力矩

发动机推力与力矩是火箭主动段的主要外力和外力矩，火箭通常采用燃气舵或摆动发动机产生控制力和控制力矩。

$\delta_{01}$ $\xi$ $\delta$ 为发动机摆角。

做切向摆动时，单机推力在箭体坐标系的分量为

\begin{cases}P_{x1i}=P_i\cos\delta_{01}\cos\delta_i\\P_{y1i}=P_i(\sin\delta_{01}\cos\xi_i\cos\delta_i-\sin\xi_i\sin\delta_i)\\P_{z1i}=P_i(\sin\delta_{01}\sin\xi_i\cos\delta_i+\cos\xi_i\sin\delta_i)\end{cases}

$i=1,2,3,4$ 。

$\times$ $+$ $\xi_i$ 如下表所示。

分机	$\times$ 字形	$+$ 字形
Ⅰ	225°	180°
Ⅱ	315°	270°
Ⅲ	45°	0°
Ⅳ	135°	90°

箭体坐标系下三个方向推力分量为

\begin{cases}P_{x1}=\sum_{i=1}^4p_{1ix1}\\P_{x1}=\sum_{i=1}^4p_{1iy1}\\P_{x1}=\sum_{i=1}^4p_{1iz1}\end{cases}

式中

p_{1ix1}=p_1\cos(\delta_i+\eta_{\phi1})\cos(\delta_{01}+\eta_{\psi1})

p_1=p_{01}+R_{b1}\dot{G_1}\delta\dot{G_1}+\dot{G_1}\Delta R_{b1}+s_{a1}P_0[1-\frac{P}{P_0}(1+\Delta P)]

式中

\begin{cases}p_{11y1}=\frac{\sqrt{2}}{2}p_1(-\sin\delta_1+\cos\delta_1\sin\delta_{01})\\p_{12y1}=\frac{\sqrt{2}}{2}p_1(-\sin\delta_2-\cos\delta_2\sin\delta_{01})\\p_{13y1}=\frac{\sqrt{2}}{2}p_1(\sin\delta_3-\cos\delta_3\sin\delta_{01})\\p_{14y1}=\frac{\sqrt{2}}{2}p_1(\sin\delta_4+\cos\delta_4\sin\delta_{01})\end{cases}

\begin{cases}p_{11z1}=\frac{\sqrt{2}}{2}p_1(\sin\delta_1+\cos\delta_1\sin\delta_{01})\\p_{12z1}=\frac{\sqrt{2}}{2}p_1(-\sin\delta_2+\cos\delta_2\sin\delta_{01})\\p_{13z1}=\frac{\sqrt{2}}{2}p_1(-\sin\delta_3-\cos\delta_3\sin\delta_{01})\\p_{14z1}=\frac{\sqrt{2}}{2}p_1(\sin\delta_4-\cos\delta_4\sin\delta_{01})\end{cases}

箭体坐标系下三个方向干扰力分量

\begin{cases}p_{ty1}=2\sqrt{2}p_{11x1}\eta_{\phi1}\\p_{tz1}=2\sqrt{2}p_{11x1}\eta_{\psi1}\end{cases}

干扰力矩分量

\begin{cases}M_{tx1}=p_{ty1}\cdot h_{Tz}-p_{tz1}\cdot h_{Ty}\\M_{ty1}=p_{tz1}\cdot(l_1-X_{CG})-p_{x1}\cdot h_{Tz}\\M_{ty1}=-p_{ty1}\cdot(l_1-X_{CG})-p_{x1}\cdot h_{Tz}\end{cases}

$l_1$ ——发动机摇摆中心到火箭理论尖点的距离；

$X_{CG}$ ——火箭质心位置；

$h_{Ty},h_{Tz}$ ——分别为火箭质心横移量。

火箭飞行动力学方程

质心动力学方程

m\frac{dV}{dt}=P+F

$m=m(t)$ ——火箭的质量；

$F$ ——外力；

$P$ ——发动机推力。

$a$ $a_a$ 的关系为

a=a_a+a_e+a_c

$a_e$ ——牵连加速度；

$a_c$ ——哥氏加速度。

$\omega_e$ $d\omega_e/dt=0$ 。因此，描述火箭相对于地球运动的质心方程如下

m\frac{dV}{dt}=P+F-m\omega_e\times(\omega_e\times r)-2m(\omega_e\times v)

后两项分别称为牵连惯性力和哥氏惯性力。

运载火箭制导系统工程设计时，一般将质心运动方程建立在发射惯性坐标系上，则其质心方程可以表示为

f_a=\frac{1}{m}(P_\alpha+R_\alpha)\quad(\alpha=x_1,y_1,z_1)

m=m_0-\int_0^t(\dot{m}+\delta\dot{m})d\tau

$f_a$ ——箭体系上的视加速度三个分量；

$P_\alpha$ ——火箭所受的推力三个分量；

$R_\alpha$ ——气动力三个分量；

$\dot{m}+\delta\dot{m}$ ——发动机组的总秒耗量。

将质心运动方程写成坐标形式如下

\left[\begin{matrix}\dot{V_x}\\\dot{V_y}\\\dot{V_z}\end{matrix}\right]=[\mathbf{C}_b^a]\left[\begin{matrix}f_{x1}\\f_{y1}\\f_{z1}\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}g_x\\g_y\\g_z\end{matrix}\right]

\left[\begin{matrix}\dot{x}\\\dot{y}\\\dot{z}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}V_x\\V_y\\V_z\end{matrix}\right]

$[\mathbf{C}_b^a]$ ——箭体系到发射惯性坐标系的转换矩阵，视加速度为

\left[\begin{matrix}f_{x1}\\f_{y1}\\f_{z1}\end{matrix}\right]=\frac{1}{m}(\left[\begin{matrix}P_{x1}\\P_{y1}\\P_{z1}\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}R_{x1}\\R_{y1}\\R_{z1}\end{matrix}\right])

绕质心动力学方程

火箭绕质心运动的运动方程可写为

\mathbf{I}\times\frac{d\mathbf{\omega}}{dt}+\mathbf{\omega}\times(\mathbf{I}\cdot\mathbf{\omega})+\dot{m}\mathbf{r}_e\times\mathbf{V}_{ex}+\frac{\delta\mathbf{I}}{\delta t}\cdot\mathbf{\omega}+\dot{m}\mathbf{r}_e\times(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}_e)=\mathbf{M}

$\mathbf{\omega}$ ——绕质心的转动角速度；

$\mathbf{r}_e$ ——质心到发动机喷口中心的矢量；

$\mathbf{V}_{ex}$ ——平均排气速度，当发动机确定后即已知；

$\mathbf{M}$ ——外力矩（对于火箭一般指气动力矩）。

令

\mathbf{M}_{CT}=-\dot{m}\mathbf{r}_e\times\mathbf{V}_{ex}

\mathbf{M}_C=-\frac{\delta\mathbf{I}}{\delta t}\cdot\mathbf{\omega}-\dot{m}\mathbf{r}_e\times(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}_e)

$\mathbf{M}_{CT}$ ——推力产生的控制力矩和干扰力矩；

$\mathbf{M}_C$ ——哥氏力矩；

$-\mathbf{\omega}\cdot\delta\mathbf{I}/\delta t$ ——转动惯量变化引起的哥氏力矩；

$-\dot{m}\mathbf{r}_e\times(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}_e)$ ——火箭喷出质量的牵连转动动量矩，称为喷气阻尼。

$\mathbf{M}_C$ 对质心运动印象较小，一般在弹道设计和制导设计时可以不考虑其影响，因此绕质心运动方程可写为

\mathbf{I}\times\frac{d\mathbf{\omega}}{dt}+\mathbf{\omega}\times(\mathbf{I}\cdot\mathbf{\omega})=\mathbf{M}_b

$\mathbf{M}_b$ ——箭体系上的合力矩，包括推力、气动力以及干扰引起的力矩。

绕质心运动的参考系通常选取建立在火箭质心上的箭体坐标系，由于火箭是相对纵轴对称的，则惯性张量为

\left[\begin{matrix}I_{xx}&0&0\\0&I_{yy}&0\\0&0&I_{zz}\end{matrix}\right]

火箭绕质心运动方程在箭体坐标系中的形式为

\begin{cases}I_{xx}\dot{\omega}_{bx}+(I_{zz}-I_{yy})\omega_{by}\omega_{bz}=M_{bx}\\I_{yy}\dot{\omega}_{by}+(I_{xx}-I_{zz})\omega_{bx}\omega_{bz}=M_{by}\\I_{zz}\dot{\omega}_{bz}+(I_{yy}-I_{xx})\omega_{bx}\omega_{by}=M_{bz}\end{cases}

$M_{bx},M_{by},M_{bz}$ ——分别为气动力矩、推力矩和干扰力矩总和的三个分量。

轨道动力学方程

根据卫星相对地球的二体问题方程

\ddot{r}=-\frac{GM}{r^2}\cdot\frac{\mathbf{r}}{r}

可以得到卫星运行的轨迹满足

Ax+By+Cz=0

即表示二体问题中卫星绕地球运转的轨道总在一个平面内，积分常数A，B，C确定了卫星轨道平面在空间坐标系中的位置。

$\mathbf{h}$ 等于卫星地心矩矢量和速度矢量的矢积

\mathbf{h}=\mathbf{r}\times\mathbf{v}

$\mathbf{h}$ $\mathbf{h}$ $\mathbf{h}$ $i$ $\Omega$ ，这两个参数确定了轨道平面在空间坐标中的方位。

可以得到

\begin{cases}A=h\sin i\sin\Omega\\B=-h\sin i\cos\Omega\\C=h\cos i\end{cases}

即有

\tan\Omega=\frac{-A}{B}

\sin\Omega=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}

\cos\Omega=\frac{-B}{\sqrt{A^2+B^2}}\quad(0\leq\Omega\leq360°)

\cos i=\frac{C}{h}

\tan i=\frac{\sqrt{A^2+B^2}}{C}\quad(0\leq i\leq\pi)

h=A^2+B^2+C^2

$A^2+B^2=0$ $\Omega=0,i=0$ 。

$i$ $\Omega$ $h$ ，前两个决定轨道平面的方位，第三个决定轨道的周期。

描述轨道面内的运动在二维空间，通过对运动方程求解可得

r=\frac{P}{1+e\cos(\theta_s-\omega)}

$P=h^2/GM$ ——轨道通径；

$\omega$ ——近地点幅角，其决定了椭圆轨道长轴在轨道平面上的方向；

$f$ $f=\theta-\omega$ 。

$r_P$ $r_A$ 与长半轴和偏心率之间的关系为

r_P=a(1-e)\quad r_A=a(1+e)

e=\frac{r_A-r_P}{r_A+r_P}

半长轴决定了轨道的大小，反映卫星轨道的总能量，决定了轨道的周期，卫星轨道周期为

T=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM}}

即卫星轨道周期的平方和椭圆轨道的半长轴的三次方成正比

n=\sqrt{\frac{GM}{a^3}}

$n$ ——卫星沿轨道的运行平均速率。

开普勒轨道方程

在椭圆轨道时

\dot{r}^2+r^2(\dot{\theta}_s)^2=GM(\frac{2}{r}-\frac{1}{a})

(\dot{\theta}_s)^2=\frac{GM\cdot a(1-e^2)}{r^4}

可以推导出开普勒方程

E-e\sin E=n(t-\tau)

$m=n(t-\tau)$ $n$ 转过的角度。

飞行轨道的确定

$[V_x\quad V_y\quad V_z]^T$ $[x_a\quad x_y\quad x_z]^T$ ，则可确定其轨道根数

V=\sqrt{V_x^2+V_y^2+V_z^2}

r=\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}

\mathbf{h}=\mathbf{r}\times\mathbf{V}

\begin{cases}h_x=y_a\cdot V_z-z_a\cdot V_y\\h_y=z_a\cdot V_x-x_a\cdot V_z\\h_z=x_a\cdot V_y-y_a\cdot V_x\end{cases}

h=\sqrt{h_x^2+h_y^2+h_z^2}

\upsilon=rV^2/GM

\theta_H=\arcsin^{-1}(\frac{x_aV_x+y_aV_y+z_aV_z}{rV})

坐标转换

\left[\begin{matrix}V_{Ex}\\V_{Ey}\\V_{Ez}\end{matrix}\right]=[\mathbf{C}_a^E]\left[\begin{matrix}V_x\\V_y\\V_z\end{matrix}\right]

\left[\begin{matrix}X_E\\Y_E\\Z_E\end{matrix}\right]=[\mathbf{C}_a^E]\left[\begin{matrix}x_a\\y_a\\z_a\end{matrix}\right]

\left[\begin{matrix}h_{Ex}\\h_{Ey}\\h_{Ez}\end{matrix}\right]=[\mathbf{C}_a^E]\left[\begin{matrix}h_x\\h_y\\h_z\end{matrix}\right]

轨道根数如下

\begin{cases}a=\frac{r}{2-\nu}\\e=\sqrt{1-(2-\nu)\nu\cos^2\theta_H}\\i=\arccos(\frac{h_{Ex}}{h})\quad i\in[0\quad\pi]\\\Omega_0=\arctan(h_{Ex}/-h_{Ey})\quad\Omega_0\in[0\quad2\pi]\\\omega=\theta_s-f\quad\omega\in[0\quad2\pi]\\M=E-e\sin E\quad E\in[0\quad2\pi]\end{cases}

式中

r_a=a(1+e);\\r_p=a(1-e);\\\cos\theta_s=\frac{X_E\cos\Omega_0+Y_E\sin\Omega_0}{r}\quad\begin{cases}0\leq\theta<\pi\quad Z_E\geq0\\\pi\leq\theta<2\pi\quad Z_E<0\end{cases};\\\cos f=\frac{P-r}{er}\quad\begin{cases}0\leq f\leq\pi\quad \theta_H\geq0\\\pi<f<2\pi\quad \theta_H<0\end{cases};\\P=a(1-e^2);\\\omega=\theta_s-f;\\\tan\frac{E}{2}=\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\tan\frac{f}{2},E/2和f/2同象限

运载火箭姿态动力学方程

非捆绑运载火箭姿态动力学模型

（1）质心动力学全量方程的一般形式

在惯性坐标系中任意变质量物体的质心运动学方程

m\frac{d^2\mathbf{r}_0}{dt^2}=\mathbf{F}+\mathbf{F}'_k+\mathbf{F}'_{rel}

其中外力

\mathbf{F}=m\mathbf{g}+\mathbf{R}+\mathbf{P}_{st}+\mathbf{F}_c

$m\mathbf{g}$ ——地球引力矢量；

$\mathbf{R}$ ——气动力矢量；

$\mathbf{P}_{st}$ ——发动机推力净分量矢量；

$F_c$ ——控制力矢量（指推力方向改变产生的控制力，不包括发动机摆动惯性力）。

如果只考虑燃料燃烧造成的质量变化，附加相对力为

\mathbf{F}'_{rel}=-\int_m\frac{\delta^2\mathbf{\rho}}{\delta t^2}dm=-\dot{m}\mathbf{u}_e

附加哥氏力为

\mathbf{F}'_k=-2\mathbf{\omega}_1\times\int_m\frac{\delta\mathbf{\rho}}{\delta t}dm=-2\dot{m}\mathbf{\omega}_1\times\mathbf{\rho}_e

$\mathbf{\rho}$ ——质心到质点的矢径；

$\dot{m}$ ——火箭质量秒耗量；

$\mathbf{u}_e$ ——喷口截面上平均排气速度；

$\mathbf{\rho}_e$ ——火箭质心到喷口截面中心的矢径。

$\mathbf{F}'_{rel}$ $\mathbf{P}$ $\mathbf{P}=\mathbf{F}'_{rel}+\mathbf{P}_{st}$ 。火箭在惯性坐标系中以矢量形式描述的质心动力学方程为

m\frac{d^2\mathbf{r}_0}{dt^2}=\mathbf{F}+\mathbf{F}'_k+\mathbf{F}'_{rel}=m\mathbf{g}+\mathbf{R}+\mathbf{P}_{st}+\mathbf{F}_c+\mathbf{F}'_{rel}+\mathbf{F}'_k=\mathbf{P}+\mathbf{R}+\mathbf{F}_c+m\mathbf{g}+\mathbf{F}'_k

将上式左右两端在速度（或半速度）坐标系中展开，可以得到在速度（或半速度）坐标系下的火箭质心运动方程，具体各力的阐述将在后文展开。

根据牛顿定律、绝对导数和相对导数之间的关系，有

m\frac{d\mathbf{V}}{dt}=m(\frac{\delta\mathbf{V}}{\delta t}+\mathbf{\Omega\times\mathbf{V}})=\sum\mathbf{F}_h

$\frac{d\mathbf{V}}{dt}$ $\mathbf{V}$ 的绝对导数；

$\frac{\delta\mathbf{V}}{\delta t}$ $\mathbf{V}$ 的绝对导数；

$\sum\mathbf{F}$ ——火箭飞行中受到的力，包括重力、气动力、发动机推力和干扰力等。

$\mathbf{i}_h,\mathbf{j}_h,\mathbf{k}_h$ $\mathbf{\Omega}_{xh},\mathbf{\Omega}_{yh},\mathbf{\Omega}_{zh}$ $\mathbf{\Omega}$ $O_1X_hY_hZ_h$ $V_{xh},V_{yh},V_{zh}$ $O_1X_hY_hZ_h$ 各轴上的分量，可得

\frac{\delta\mathbf{V}}{\delta t}=\frac{dV_{xh}}{dt}\mathbf{i}_h+\frac{dV_{yh}}{dt}\mathbf{j}_h+\frac{dV_{zh}}{dt}\mathbf{k}_h

\mathbf{\Omega}\times\mathbf{V}=V\Omega_{zh}\mathbf{j}_h-V\Omega_{yh}\mathbf{k}_h=V\dot{\theta}\cos\sigma\mathbf{j}_h-V\dot{\sigma}\mathbf{k}_h

可得

m\frac{dV}{dt}=\sum F_{xh}

mV\cos\sigma\frac{d\theta}{dt}=\sum F_{yh}

-mV\frac{d\delta}{dt}=\sum F_{zh}

质心方程建立在弹道坐标系，分析箭体受力，需将受力方程转换至弹道坐标系。

（2）绕质心动力学方程的一般形式

绕质心的力矩平衡方程为

\mathbf{M}_{c.m}=\int_m\mathbf{\rho}\times\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}dm

外力对火箭质心的力矩为

\mathbf{M}_{c.m}=\mathbf{M}_{st}+\mathbf{M}_c+\mathbf{M}_d

$\mathbf{M}_{st}$ ——作用在火箭上的气动力矩；

$\mathbf{M}_c$ ——控制力矩；

$\mathbf{M}_d$ ——火箭相对大气有转动时引起的阻尼力矩。

适用于任意变质量物体绕质心转动的一般运动方程为

\int_m\mathbf{\rho}\times[\mathbf{\omega}_1\times(\mathbf{\omega}_1\times\mathbf{\rho})]dm+\int_m\mathbf{\rho}\times(\frac{d\mathbf{\omega}_1}{dt}\times\mathbf{\rho})dm=\mathbf{M}_{c,m}+\mathbf{M}'_k+\mathbf{M}'_{rel}

式中

\mathbf{M}'_k=-2\int_m\mathbf{\rho}\times(\mathbf{\omega}_1\times\frac{\delta\mathbf{\rho}}{dt})dm

\mathbf{M}'_{rel}=-\int_m\mathbf{\rho}\times\frac{\delta^2\mathbf{\rho}}{\delta t^2}dm

上式左端第一项根据矢量叉乘运算法则可得

\int_m\mathbf{\rho}\times[\mathbf{\omega}_1\times(\mathbf{\omega}_1\times\mathbf{\rho})]dm=\mathbf{\omega}_1\times\int_m\mathbf{\rho}\times(\mathbf{\omega}_1\times\mathbf{\rho})dm

将系统视为刚体，该刚体对质心的总角动量可定义为

\mathbf{H}_1=\int_m\mathbf{\rho}\times(\mathbf{\omega}_1\times\mathbf{\rho})dm

$\mathbf{\omega}_1$ $\mathbf{\rho}$ 的分量形式可写为

\mathbf{\omega}_1=[\omega_{X_1}\quad\omega_{Y_1}\quad\omega_{Z_1}]^T

\mathbf{\rho}=[x_1\quad y_1\quad z_1]^T

则

\mathbf{H}_1=\int_m\mathbf{\rho}\times(\mathbf{\omega}_1\times\mathbf{\rho})dm=\int_m[\mathbf{\omega}_1\cdot(\mathbf{\rho}\cdot\mathbf{\rho})-\mathbf{\rho}\cdot(\mathbf{\omega}_1\cdot\mathbf{\rho})]=\int_m\left[\begin{matrix}x_1^2\omega_{xT}+y_1^2\omega_{xT}+z_1^2\omega_{zT}-x_1^2\omega_{xT}-x_1y_1\omega_{yT}-x_1z_1\omega_{zT}\\x_1^2\omega_{xT}+y_1^2\omega_{yT}+z_1^2\omega_{yT}-x_1y_1\omega_{xT}-y_1^2\omega_{yT}-y_1z_1\omega_{zT}\\x_1^2\omega_{zT}+y_1^2\omega_{zT}+z_1^2\omega_{zT}-x_1z_1\omega_{xT}-y_1z_1\omega_{yT}-z_1^2\omega_{zT}\end{matrix}\right]dm

整理得

\mathbf{H}_1=\int_m\left[\begin{matrix}y_1^2+z_1^2&-x_1y_1&-x_1z_1\\-y_1x_1&z_1^2+x_1^2&-y_1z_1\\-z_1x_1&-z_1y_1&x_1^2+y_1^2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}\omega_{X_1}\\\omega_{Y_1}\\\omega_{Z_1}\end{matrix}\right]dm

定义

J_{X_1}=\int(y_1^2+z_1^2)dm\\J_{Y_1}=\int(z_1^2+x_1^2)dm\\J_{Z_1}=\int(x_1^2+y_1^2)dm\\J_{X_1Y_1}=J_{Y_1X_1}=\int x_1y_1dm\\J_{Y_1Z_1}=J_{Z_1Y_1}=\int y_1z_1dm\\J_{Z_1X_1}=J_{X_1Z_1}=\int z_1x_1dm

为简单起见，上式可写为

\mathbf{H}_1=\overline{\mathbf{I}}\cdot{\mathbf{\omega}_1}

其中

\overline{\mathbf{I}}=\left[\begin{matrix}J_{X_1}&-J_{X_1Y_1}&-J_{X_1Z_1}\\-J_{Y_1X_1}&J_{Y_1}&-J_{Y_1Z_1}\\-J_{Z_1X_1}&-J_{Z_1X_1}&J_{Z_1}\end{matrix}\right]

称为惯性张量。

有

\int_m\mathbf{\rho}\times[\mathbf{\omega}_1\times(\mathbf{\omega}_1\times\mathbf{\rho})]dm=\mathbf{\omega}_1\times\mathbf{H}_1=\mathbf{\omega}_1\times(\overline{\mathbf{I}}\cdot\mathbf{\omega}_1)

同理

\int_m\mathbf{\rho}\times(\frac{d\mathbf{\omega}_1}{dt}\times\mathbf{\rho})d\dot{m}=\int_m[\frac{d\mathbf{\omega}_1}{dt}\cdot(\mathbf{\rho}\cdot\mathbf{\rho})-\mathbf{\rho}\cdot(\mathbf{\rho}\cdot\frac{d\mathbf{\omega}_1}{dt})]dm=\int_m\left[\begin{matrix}y_1^2+z_1^2&-x_1y_1&-x_1z_1\\-y_1x_1&z_1^2+x_1^2&-y_1z_1\\-z_1x_1&-z_1y_1&x_1^2+y_1^2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}\frac{d\omega_{x_1}}{dt}\\\frac{d\omega_{y_1}}{dt}\\\frac{d\omega_{z_1}}{dt}\end{matrix}\right]dm

所以

\int_m\mathbf{\rho}\times(\frac{d\mathbf{\omega}_1}{dt}\times\mathbf{\rho})dm=\overline{\mathbf{I}}\cdot\frac{d\mathbf{\omega}_1}{dt}

如果只考虑燃料造成的质量变化，附加相对力矩为

\mathbf{M}'_{rel}=-\int_m\mathbf{\rho}\times\frac{\delta^2\mathbf{\omega}_1}{dt^2}dm=-\dot{m}\mathbf{\rho}_e\times\mathbf{u}_e

附加哥氏力矩为

\mathbf{M}'_k=-2\int_m\mathbf{\rho}\times(\mathbf{\omega}_1\times\frac{\delta\mathbf{\rho}}{dt})dm=-\frac{\delta\overline{\mathbf{I}}}{\delta t}\cdot\mathbf{\omega}_1-\dot{m}\mathbf{\rho}_e\times(\mathbf{\omega}_1\times\mathbf{\rho}_e)

$\mathbf{\rho}_e$ ——发动机喷口到火箭质心的距离；

$\dot{m}\mathbf{\rho}_e\times(\mathbf{\omega}_1\times\mathbf{\rho}_e)$ ——由单位时间内喷出的气流造成的力矩，它起到阻尼作用，通常称为喷气阻尼力矩；

$(\delta\overline{\mathbf{I}}/\delta t)\cdot\mathbf{\omega}_1$ $\delta\overline{\mathbf{I}}/\delta t$ 各分量为负值，所以该项起减小阻尼的作用，其量级约为喷气阻尼力矩的30%。

绕质心运动方程可写为

\overline{\mathbf{I}}\cdot\frac{d\mathbf{\omega}_1}{dt}+\mathbf{\omega}_1\times(\overline{\mathbf{I}}\cdot\mathbf{\omega}_1)=\mathbf{M}_{st}+\mathbf{M}_c+\mathbf{M}_d+\mathbf{M}'_k+\mathbf{M}'_{rel}

将上式在箭体坐标系内分解，可以得到分量形式的绕质心运动方程，具体各力矩的推导过程在后文展开。

由动量矩定理可知（惯性系-箭体坐标系）

\frac{d\mathbf{H}}{dt}=\frac{d\mathbf{H}_1}{dt}+\mathbf{\omega}_1\times\mathbf{H}_1=\sum\mathbf{M}

建立力矩平衡方程是，以箭体坐标系三个分量表示如下

\frac{dH_{X1}}{dt}+\omega_{Y1}\times H_{Z1}-\omega_{Z1}\times H_{Y1}=M_{X1}\\\frac{dH_{Y1}}{dt}+\omega_{Z1}\times H_{X1}-\omega_{X1}\times H_{Z1}=M_{Y1}\\\frac{dH_{Z1}}{dt}+\omega_{X1}\times H_{Y1}-\omega_{Y1}\times H_{X1}=M_{Z1}

由于箭体为轴对称的，可得一般形式下的绕质心方程

J_{X1}\dot{\omega}_{X1}+(J_{Z1}-J_{Y1})\omega_{Y1}\omega_{Z1}=M_{X1}\\J_{Y1}\dot{\omega}_{Y1}+(J_{X1}-J_{Z1})\omega_{Z1}\omega_{X1}=M_{Y1}\\J_{Z1}\dot{\omega}_{Z1}+(J_{Y1}-J_{X1})\omega_{X1}\omega_{Y1}=M_{Z1}

绕质心方程建立在箭体坐标系，分析箭体外力矩，须将力矩方程转换至箭体坐标系。

火箭飞行中受到的力和力矩

（1）重力

重力在半速坐标系中可表示为

\left[\begin{matrix}G_{hx}\\G_{hy}\\G_{hz}\end{matrix}\right]=\mathbf{C}_A^h\left[\begin{matrix}G_{Ax}\\G_{Ay}\\G_{Az}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}-mg\sin\Theta\cos\sigma\\-mg\cos\Theta\\-mg\sin\Theta\sin\sigma\end{matrix}\right]

$\Theta$ ——当地弹道倾角；

$\sigma$ ——弹道偏角。

（2）空气动力

$R$ 在速度坐标系下分量分别为阻力、升力和侧向力，可得

\left[\begin{matrix}R_{Vx}\\R_{Vy}\\R_{Vz}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}-X\\Y\\Z\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}-C_xqS\\C_y^\alpha\alpha qS\\C_z^\beta\beta qS\end{matrix}\right]

$q$ ——动压；

$S$ ——特征面积。

将气动力转换到弹道坐标系上，可以表示为

\left[\begin{matrix}R_{hx}\\R_{hy}\\R_{hz}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}-X\\Y\cos\nu-Z\sin\nu\\Y\sin\nu+Z\cos\nu\end{matrix}\right]

$\nu$ ——速度攻角。

（3）控制力

1）四台发动机切向布局

四台发动机布局情况下的的等效摆角为

\begin{cases}\delta_\phi=\frac{1}{4}(-\delta_Ⅰ-\delta_Ⅱ+\delta_Ⅲ+\delta_Ⅳ)\\\delta_\psi=\frac{1}{4}(-\delta_Ⅰ+\delta_Ⅱ+\delta_Ⅲ-\delta_Ⅳ)\\\delta_\gamma=\frac{1}{4}(\delta_Ⅰ+\delta_Ⅱ+\delta_Ⅲ+\delta_Ⅳ)\\\end{cases}

2）三台发动机品字形布局

三台发动机布局情况下的等效摆角为

\begin{cases}\delta_\phi=\frac{-\delta_1+\delta_3}{2}\\\delta_\psi=\frac{-\delta_1+2\delta_2-\delta_3}{3}\\\delta_\gamma=\frac{-\delta_1+\delta_2+\delta_3}{3}\\\end{cases}

3）两台发动机对称布局

两台发动机布局情况下的等效摆角为

\begin{cases}\delta_\phi=\frac{1}{2}(\delta_{Ⅰ2}+\delta_{Ⅱ4})\\\delta_\psi=\frac{1}{2}(-\delta_{Ⅰ1}+\delta_{Ⅱ3})\\\delta_\gamma=\frac{1}{2}(\delta_{Ⅰ1}+\delta_{Ⅱ3})\\\end{cases}

4）一台发动机布局

一台发动机布局情况下的等效摆角为

\begin{cases}\delta_\phi=\delta_1\\\delta_\psi=\delta_2\\\delta_\gamma=K_\gamma\\\end{cases}

$K_\gamma$ ——姿控喷管开关。

本节以一台发动机双向摇摆为例，研究运载火箭的姿态动力学模型，并给出其主要的推导过程。

①发动机的控制力与力矩

$P$ 在箭体坐标系的分量为

\left[\begin{matrix}X_1\\Y_1\\Z_1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}P_{X1}\\P_{Y1}\\P_{Z1}\end{matrix}\right]=P\left[\begin{matrix}\cos\delta_1\cos\delta_2\\\sin\delta_1\cos\delta_2\\-\sin\delta_2\end{matrix}\right]

$\delta_1$ $\delta_2$ 为小角度，因此

P_{X_1}=P\\P_{Y_1}=P\delta_1=P\delta_\phi\\P_{Z_1}=-P\delta_2=-P\delta_\psi

箭体发生弹性形变后，俯仰平面内的弯曲振动、扭转振动均会改变力的方向，轴向振动虽不改变推力的方向，但改变推力作用点的轴向坐标。以俯仰平面为例，分析弹性变形后的火箭受力分析。

\begin{cases}P_{X_1}=P\\P_{Y_1}=-P\frac{\partial u_y(x_R)}{\partial x}+P\delta_\phi\\P_{Z_1}=P\frac{\partial u_z(x_R)}{\partial x}-P\delta_\psi\end{cases}

$[x_Z-x_R-u_x(x_R)\quad u_y(x_R)\quad -u_z(x_R)]^T$ ，则产生的控制力矩为

\mathbf{M}=\mathbf{r}\times\mathbf{P}=\left[\begin{matrix}i&j&k\\x_Z-x_R-u_x(x_R)&u_y(x_R)&-u_z(x_R)\\P&-P\frac{\partial u_y(x_R)}{\partial x}+P\delta_\phi&P\frac{\partial u_z(x_R)}{\partial x}-P\delta_\psi\end{matrix}\right]

认为弹性变形的振型和转角为小量，则上式各分量为

\begin{cases}M_{x1zj}=0\\M_{y1zj}=-Pu_z(x_R)-P(x_Z-x_R)\frac{\partial u_z(x_R)}{\partial x}+P(x_Z-x_R)\delta_\psi\\M_{z1zj}=-Pu_y(x_R)-P(x_Z-x_R)\frac{\partial u_y(x_R)}{\partial x}+P(x_Z-x_R)\delta_\phi\end{cases}

②发动机的惯性力与力矩

$m_R$ $l_R$ $J_R$ $M_R$ $l_R$ 的集中质量的摆锤。

$O'_1X_1Y_1Z_1$ $Z_1$ 的惯性力矩为

M_{Z_1\delta}=m_Rl_R\ddot{\delta}_\phi(x_Z-x_R-l_R)-m_Rl_R\dot{W}_{x1}\sin[\delta_\phi-\frac{\partial u_y(x_R)}{\partial x}]+m_R\dot{W}_{x1}u_y(x_R)\\=-m_Rl_R(x_R-x_Z)\ddot{\delta}_\phi-J_R\ddot{\delta}_\phi-m_Rl_R\dot{W}_{x1}\delta_\phi+m_Rl_R\dot{W}_{x1}\sum_{i=1}^nW'_{yi}(x_R)q_{yi}(t)+m_R\dot{W}_{x1}u_y(x_R)

$Z_1$ 的惯性力矩为

M_{Y_1\delta}=m_Rl_R\ddot{\delta}_\psi(x_Z-x_R-l_R)-m_Rl_R\dot{W}_{x1}\sin[\delta_\psi-\frac{\partial u_z(x_R)}{\partial x}]+m_R\dot{W}_{x1}u_z(x_R)\\=-m_Rl_R(x_R-x_Z)\ddot{\delta}_\psi-J_R\ddot{\delta}_\psi-m_Rl_R\dot{W}_{x1}\delta_\psi+m_Rl_R\dot{W}_{x1}\sum_{i=1}^nW'_{zi}(x_R)q_{zi}(t)+m_R\dot{W}_{x1}u_z(x_R)

则发动机的控制力矩和惯性力矩之和为$$

\begin{cases}M_{x1}=0\\M_{y1}=-Pu_z(x_R)+P(x_R-x_Z)\frac{\partial u_z(x_R)}{\partial x}-P(x_R-x_Z)\delta_\psi-m_Rl_R(x_R-x_Z)\ddot{\delta}_\psi-\\J_R\ddot{\delta}_\psi-m_Rl_R\dot{W}_{x1}\delta_\psi+m_Rl_R\dot{W}_{x1}\sum_{i=1}^nW'_{zi}(x_R)q_{zi}(t)+m_R\dot{W}_{x1}u_z(x_R)\\M_{z1}=-Pu_y(x_R)+P(x_R-x_Z)\frac{\partial u_y(x_R)}{\partial x}-P(x_R-x_Z)\delta_\phi-m_Rl_R(x_R-x_Z)\ddot{\delta}_\psi-\\J_R\ddot{\delta}_\psi-m_Rl_R\dot{W}_{x1}\delta_\psi+m_Rl_R\dot{W}_{x1}\sum_{i=1}^nW'_{zi}(x_R)q_{zi}(t)+m_R\dot{W}_{x1}u_z(x_R)\end{cases}

质心动力学方程在弹道坐标系下建立，而火箭受到的力与力矩都在箭体下，因此需要投影到弹道坐标系。箭体坐标系作用力在弹道坐标系中的投影为

\begin{cases}F_{hcx}=P\cos\alpha\cos\beta-(P\delta_\phi+m_Rl_R\ddot{\delta}_\phi)\sin\alpha+P\frac{\partial u_y(x_R)}{\partial x}\sin\alpha-\\(P\delta_\psi+m_Rl_R\ddot{\delta}_\psi)\cos\alpha\sin\beta+P\frac{\partial u_z(x_R)}{\partial x}\cos\alpha\sin\beta\\F_{hcy}=\cos\nu[P\sin\alpha\cos\beta+(P\delta_\phi+m_Rl_R\ddot{\delta}_\phi)\cos\alpha-P\frac{\partial u_y(x_R)}{\partial x}\cos\alpha]+\\\sin\nu[P\sin\beta+(P\delta_\psi+m_Rl_R\ddot{\delta}_\psi)\cos\beta-P\frac{\partial u_z(x_R)}{\partial x}\cos\beta]\\F_{hcz}=\cos\nu[-P\sin\beta-(P\delta_\psi+m_Rl_R\ddot{\delta}_\psi)\cos\alpha-P\frac{\partial u_z(x_R)}{\partial x}\cos\beta]+\\\sin\nu[P\sin\alpha\cos\beta+(P\delta_\phi+m_Rl_R\ddot{\delta}_\phi)\cos\alpha-P\frac{\partial u_y(x_R)}{\partial x}\cos\alpha]\end{cases}

③液体晃动惯性力

$O_1X_1Y_1Z_1$ 中表示为

\begin{cases}F_{X''_1}=0\\F_{Y''_1}=-m_p\ddot{y}_p\\F_{Z''_1}=-m_p\ddot{z}_p\end{cases}

考虑视加速度，则晃动惯性力为

\begin{cases}F_{X_1}=-m_p\dot{W}_{X_1}\\F_{Y''_1}=-m_p\ddot{y}_p\\F_{Z''_1}=-m_p\ddot{z}_p\end{cases}

在弹道坐标系的分量为

\begin{cases}F_{h_{x1}}=-m_p\ddot{y}_p\sin\alpha-m_p\ddot{z}_p\cos\alpha\sin\beta\\F_{h_{y1}}=-m_p\ddot{y}_p\cos\nu\cos\alpha-m_p\ddot{z}_p(\cos\nu\sin\alpha\sin\beta-\sin\nu\cos\beta)\\F_{h_{z1}}=-m_p\ddot{y}_p\sin\nu\cos\alpha-m_p\ddot{z}_p(\sin\nu\sin\alpha\sin\beta+\cos\nu\cos\beta)\end{cases}

$O_1$ 产生的力矩为

\left[\begin{matrix}M_{X_1}\\M_{Y_1}\\M_{Z_1}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}i&j&k\\x_Z-x_p&y_p&z_p\\-m_p\dot{W}_{X_1}&-m_p\ddot{y}_p&-m_p\ddot{z}_p\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0\\-m_p\dot{W}_{X_1}z_p+m_p\ddot{z}_p(x_Z-x_p)\\-m_p\ddot{y}_p(x_Z-x_p)+m_p\dot{W}_{X_1}y_p\end{matrix}\right]

液体晃动方程

$-K_py_p(-K_pz_p)$ $-D_p\dot{y}_p(-D_p\dot{z}_p)$ 、重力以及随箭体一起运动所具有的惯性力。列写方程为

\ddot{y}_p+2\zeta_p\Omega_p\dot{y}_p+\Omega_p^2y_p=-V\dot{\theta}\cos\sigma\cos\alpha\cos\nu+V\dot{\sigma}\cos\alpha\sin\nu+\dot{V}\sin\alpha-\dot{V}\sin\alpha-\dot{\omega}_z(x_Z-x_p)+\\\dot{\omega}_xz_p+\sum_{i=1}^nE_{(i+n)p}q_{yi}+\sum_{i=1}^nE_{ip}\ddot{q_{yi}}-g(\sin\Phi\sin\psi\sin\gamma+\cos\Phi\cos\gamma)

\ddot{Z}_p+2\zeta_p\Omega_p\dot{Z}_p+\Omega_p^2Z_p=-V\dot{\theta}\cos\sigma\cos\beta\sin\nu+\dot{V}\cos\alpha\sin\beta+V\dot{\sigma}\cos\beta\cos\nu+\dot{\omega}_xy_p-\dot{\omega}_y(x_Z-x_p)+\\\sum_{i=1}^nE_{(i+n)p}q_{zi}+\sum_{i=1}^nE_{ip}\ddot{q_{zi}}+g(\sin\Phi\sin\psi\cos\gamma-\cos\Phi\sin\gamma)

其中

E_{(i+n)p}=-\dot{W}_{X_1}\frac{\partial W_{yi}(x_p)}{\partial x},E_{ip}=-W_{yi}(x_p)\\E_{(i+n)p}=-\dot{W}_{X_1}\frac{\partial W_{zi}(x_p)}{\partial x},E_{ip}=-W_{zi}(x_p)

弹性振动方程

广义力主要包括主发动机推力、发动机惯性力矩、气动力、气动阻尼力、干扰等引起的广义力。将各种广义力代入，并整理得

\ddot{q}_{yi}+2\xi_{yi}\omega_{yi}\dot{q}_{yi}+\omega_{yi}^2q_{yi}=D_{1z}\omega_z+D_{2i}(\alpha+\alpha_w)+D_{3i}\delta_\phi+D''_{3i}\ddot{\delta}_\phi+\sum_{p=1}^mK_{ip}\ddot{y}_p+\sum_{P=1}^mK_{(i+n)p}y_p-Q_{iy}

\ddot{q}_{zi}+2\xi_{zi}\omega_{zi}\dot{q}_{zi}+\omega_{zi}^2q_{zi}=D_{1i}\omega_y+D_{2i}(\beta+\beta_w)+D_{3i}\delta_\psi+D''_{3i}\ddot{\delta}_\psi+\sum_{p=1}^mK_{ip}\ddot{Z}_p+\sum_{P=1}^mK_{(i+n)p}Z_p-Q_{iz}

质心动力学方程

火箭飞行过程中受到的控制力、气动力、惯性力等经过坐标转换，由箭体坐标系转换到弹道坐标系，进而建立质心动力学方程。在建立质心动力学方程时，考虑到火箭全向发射时滚动角和速度倾角较大的情况，列写质心动力学方程为

\dot{\theta}\cos\sigma=\cos\nu[c_3\sin\alpha\cos\beta+(c_3\delta_\phi+c_{30}\ddot{\delta}_\phi)\cos\alpha+c_{10}(\alpha+\alpha_\omega)-\overline{F}_{yc}\cos\alpha+\\\sum_{i=1}^nc_{2i}q_{yi}+\sum_{i=1}^nc_{1i}\dot{q}_{yi}-\sum_{p=1}^mC_{4p}\ddot{y}_p\cos\alpha]+\sin\nu[c_3\sin\beta+(c_3\delta_\psi+c_{30}\ddot{\delta}_\psi)\cos\beta+\\c_{10}(\beta+\beta_\omega)+\overline{F}_{zc}\cos\beta+\sum_{i=1}^nc_{2i}q_{zi}+\sum_{i=1}^nc_{1i}\dot{q}_{zi}-\sum_{p=1}^mC_{4p}\ddot{Z}_p\cos\beta]-\tilde{c}_2\cos\Theta

\dot{\sigma}=\cos\nu[c_3\sin\beta+(c_3\delta_\phi+c_{30}\ddot{\delta}_\phi)\cos\beta+c_{10}(\beta+\beta_\omega)-\overline{F}_{zc}\cos\beta+\\\sum_{i=1}^nc_{1i}\dot{q}_{zi}+\sum_{i=1}^nc_{2i}q_{zi}-\sum_{p=1}^mC_{4p}\ddot{Z}_p\cos\beta]-\sin\nu[c_3\sin\alpha\cos\beta+(c_3\delta_\psi+c_{30}\ddot{\delta}_\psi)\cos\alpha+\\c_{10}(\alpha+\alpha_\omega)-\overline{F}_{yc}\cos\alpha+\sum_{i=1}^nc_{1i}\dot{q}_{yi}+\sum_{i=1}^nc_{2i}q_{yi}-\sum_{p=1}^mC_{4p}\ddot{y}_p\cos\alpha]+\tilde{c}_2\sin\Theta\sin\sigma

绕质心动力学方程

绕质心动力学方程建立在箭体坐标系下，有

\begin{cases}\dot{\omega}_z+I_{cc}\omega_x \omega_y+b_1\omega_z+b_2(\alpha+\alpha_\omega)+b_3\delta_\phi+b_{30}\ddot{\delta}_\phi+\sum_{i=1}^nb_{1i}\dot{q}_{yi}+\sum_{i=1}^nb_{2i}q_{yi}+\sum_{p=1}^mb_{4p}\ddot{y}_p-\sum_{p=1}^mb_{5p}y_p=\overline{M}_Z\\\dot{\omega}_y+I_{bb}\omega_x \omega_z+b_1\omega_y+b_2(\beta+\beta_\omega)+b_3\delta_\psi+b_{30}\ddot{\delta}_\psi+\sum_{i=1}^nb_{1i}\dot{q}_{zi}+\sum_{i=1}^nb_{2i}q_{zi}+\sum_{p=1}^mb_{4p}\ddot{Z}_p-\sum_{p=1}^mb_{5p}Z_p=\overline{M}_y\\\dot{\omega}_x+d_1\omega_x+d_3K_\gamma=\overline{M}_x+\sum_{p=1}^m\sum_{j=1}^lm_{xp}\ddot{y}_p\end{cases}

非捆绑运载火箭姿态动力学方程

以上建立了非捆绑运载火箭动力学方程，本节对完整的姿态动力学方程进行汇总。

（1）质心动力学方程

\dot{\theta}\cos\sigma=\cos\nu[c_3\sin\alpha\cos\beta+(c_3\delta_\phi+c_{30}\ddot{\delta}_\phi)\cos\alpha+c_{10}(\alpha+\alpha_\omega)-\overline{F}_{yc}\cos\alpha+\\\sum_{i=1}^nc_{2i}q_{yi}+\sum_{i=1}^nc_{1i}\dot{q}_{yi}-\sum_{p=1}^mC_{4p}\ddot{y}_p\cos\alpha]+\sin\nu[c_3\sin\beta+(c_3\delta_\psi+c_{30}\ddot{\delta}_\psi)\cos\beta+\\c_{10}(\beta+\beta_\omega)+\overline{F}_{zc}\cos\beta+\sum_{i=1}^nc_{2i}q_{zi}+\sum_{i=1}^nc_{1i}\dot{q}_{zi}-\sum_{p=1}^mC_{4p}\ddot{Z}_p\cos\beta]-\tilde{c}_2\cos\Theta

\dot{\sigma}=\cos\nu[c_3\sin\beta+(c_3\delta_\phi+c_{30}\ddot{\delta}_\phi)\cos\beta+c_{10}(\beta+\beta_\omega)-\overline{F}_{zc}\cos\beta+\\\sum_{i=1}^nc_{1i}\dot{q}_{zi}+\sum_{i=1}^nc_{2i}q_{zi}-\sum_{p=1}^mC_{4p}\ddot{Z}_p\cos\beta]-\sin\nu[c_3\sin\alpha\cos\beta+(c_3\delta_\psi+c_{30}\ddot{\delta}_\psi)\cos\alpha+\\c_{10}(\alpha+\alpha_\omega)-\overline{F}_{yc}\cos\alpha+\sum_{i=1}^nc_{1i}\dot{q}_{yi}+\sum_{i=1}^nc_{2i}q_{yi}-\sum_{p=1}^mC_{4p}\ddot{y}_p\cos\alpha]+\tilde{c}_2\sin\Theta\sin\sigma

（2）绕质心动力学方程

\dot{\omega}_z+I_{cc}\omega_x \omega_y+b_1\omega_z+b_2(\alpha+\alpha_\omega)+b_3\delta_\phi+b_{30}\ddot{\delta}_\phi+\sum_{i=1}^nb_{1i}\dot{q}_{yi}+\sum_{i=1}^nb_{2i}q_{yi}+\sum_{p=1}^mb_{4p}\ddot{y}_p-\sum_{p=1}^mb_{5p}y_p=\overline{M}_Z\\\dot{\omega}_y+I_{bb}\omega_x \omega_z+b_1\omega_y+b_2(\beta+\beta_\omega)+b_3\delta_\psi+b_{30}\ddot{\delta}_\psi+\sum_{i=1}^nb_{1i}\dot{q}_{zi}+\sum_{i=1}^nb_{2i}q_{zi}+\sum_{p=1}^mb_{4p}\ddot{Z}_p-\sum_{p=1}^mb_{5p}Z_p=\overline{M}_y\\\dot{\omega}_x+d_1\omega_x+d_3K_\gamma=\overline{M}_x+\sum_{p=1}^m\sum_{j=1}^lm_{xp}\ddot{y}_p

（3）弹性振动方程

\begin{cases}\ddot{q}_{yi}+2\xi_{yi}\omega_{yi}\dot{q}_{yi}+\omega_{yi}^2q_{yi}=D_{1z}\omega_z+D_{2i}(\alpha+\alpha_w)+D_{3i}\delta_\phi+D''_{3i}\ddot{\delta}_\phi+\sum_{p=1}^mK_{ip}\ddot{y}_p+\sum_{P=1}^mK_{(i+n)p}y_p-Q_{iy}\\\ddot{q}_{zi}+2\xi_{zi}\omega_{zi}\dot{q}_{zi}+\omega_{zi}^2q_{zi}=D_{1i}\omega_y+D_{2i}(\beta+\beta_w)+D_{3i}\delta_\psi+D''_{3i}\ddot{\delta}_\psi+\sum_{p=1}^mK_{ip}\ddot{Z}_p+\sum_{P=1}^mK_{(i+n)p}Z_p-Q_{iz}\end{cases}

（4）液体晃动方程

\ddot{y}_p+2\zeta_p\Omega_p\dot{y}_p+\Omega_p^2y_p=-V\dot{\theta}\cos\sigma\cos\alpha\cos\nu+V\dot{\sigma}\cos\alpha\sin\nu+\dot{V}\sin\alpha-\dot{V}\sin\alpha-\dot{\omega}_z(x_Z-x_p)+\\\dot{\omega}_xz_p+\sum_{i=1}^nE_{(i+n)p}q_{yi}+\sum_{i=1}^nE_{ip}\ddot{q_{yi}}-g(\sin\Phi\sin\psi\sin\gamma+\cos\Phi\cos\gamma)

\ddot{Z}_p+2\zeta_p\Omega_p\dot{Z}_p+\Omega_p^2Z_p=-V\dot{\theta}\cos\sigma\cos\beta\sin\nu+\dot{V}\cos\alpha\sin\beta+V\dot{\sigma}\cos\beta\cos\nu+\dot{\omega}_xy_p-\dot{\omega}_y(x_Z-x_p)+\\\sum_{i=1}^nE_{(i+n)p}q_{zi}+\sum_{i=1}^nE_{ip}\ddot{q_{zi}}+g(\sin\Phi\sin\psi\cos\gamma-\cos\Phi\sin\gamma)